Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Probabilités

Mesurer le hasard : de l'expérience aléatoire à la formule de la réunion

← Retour à la page Seconde 📄 La fiche d'exercices

I. Le vocabulaire du hasard

Expérience aléatoire, univers, événement

Une expérience est aléatoire quand elle a plusieurs résultats possibles (les issues) et qu'on ne peut pas prévoir lequel se produira ;
l'univers est l'ensemble de toutes les issues (pour un dé : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}) ;
un événement regroupe une ou plusieurs issues (« obtenir un chiffre pair » = {2 ; 4 ; 6}).

La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain) qui mesure sa « chance » de se produire.

L'équiprobabilité Quand toutes les issues ont la même chance (dé équilibré, tirage au hasard) :

P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues total}}

Exemple : tirer un as dans un jeu de 32 cartes : P = 4/32 = 1/8. Les probabilités s'écrivent en fraction, en décimal ou en pourcentage : 1/8 = 0,125 = 12,5 %.

Un dé équilibré a 6 issues équiprobables. Coche les faces qui réalisent ton événement A : la probabilité est le nombre de faces cochées divisé par 6. Les faces non cochées forment l'événement contraire \bar{A}.

🎮 Entraîne-toi : l'équiprobabilité

Issues favorables divisées par issues totales.

II. Événement contraire et loi de probabilité

L'événement contraire L'événement contraire de A (noté A) regroupe toutes les issues qui ne sont PAS dans A :

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Exemple : probabilité de gagner 0,2 : probabilité de ne pas gagner 0,8. Souvent, calculer le contraire est PLUS SIMPLE (« au moins un » se traite via « aucun »).

La loi de probabilité La loi de probabilité d'une expérience attribue une probabilité à chaque issue, dans un tableau. Règle d'or : la somme de toutes ces probabilités vaut 1.
Exemple : urne avec 6 vertes, 3 jaunes, 11 noires (20 boules) : P(verte) = 0,3, P(jaune) = 0,15, P(noire) = 0,55 : somme 1 ✔. Une probabilité manquante se retrouve par complément à 1.

Au départ : 4 boules rouges et 6 boules jaunes, indiscernables au toucher. Change de mode et tire plusieurs fois : avec remise, la probabilité ne bouge jamais ; sans remise, le dénominateur diminue à chaque tirage, et le numérateur aussi quand on sort une rouge.

⚠️ Avec remise ou sans remise ? La question à se poser AVANT de calculer Avec remise : la boule retourne dans l'urne, la composition est intacte, les tirages sont indépendants.
Sans remise : la boule ne revient pas, l'urne a changé, et la probabilité du tirage suivant dépend de ce qu'on vient de tirer.
Sur 10 boules dont 4 rouges : P(rouge) = 4/10 = 0,4 au premier tirage dans les deux cas. Au deuxième, si on a sorti une rouge sans la remettre, il reste 3 rouges sur 9 : P = 3/9 = 1/3, et non plus 0,4.

🎮 Entraîne-toi : le deuxième tirage sans remise

Enlève la boule tirée du numérateur ET du dénominateur.

🎮 Entraîne-toi : l'événement contraire

P(contraire) = 1 − P(événement).

🎮 Entraîne-toi : compléter une loi de probabilité

La somme de toutes les probabilités vaut 1.

III. Intersection et réunion

A ∩ B, A ∪ B et la formule de la réunion

A ∩ B (« A inter B ») : les issues communes à A ET B ;
A ∪ B (« A union B ») : les issues dans A OU B (au moins l'un des deux).

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

On retire P(A ∩ B) car les issues communes seraient comptées DEUX fois. Exemple avec un dé : A = impair, B = multiple de 3 : P(A ∪ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 2/3.

Hachures rouges (/) : l'issue réalise A. Hachures vertes (\backslash) : elle réalise B. Pour A ∪ B, tout ce qui porte au moins une hachure compte ; pour A ∩ B, seule la zone qui porte les deux compte. C'est la même lecture que l'atelier ∪/∩ des intervalles : on compte les couleurs.

M ∈ A M ∈ B

Mission :

Compte les couleurs qui recouvrent M : aucune, une seule, ou les deux. Rouge = M réalise A, vert = M réalise B. Deux couleurs à la fois : M est dans A \cap B.

Le jeu de cartes : la preuve qu'on n'additionne pas toujours

Un jeu de 32 cartes, c'est déjà un tableau à double entrée : 4 couleurs (♥ ♦ ♣ ♠) en lignes, 8 rangs (7, 8, 9, 10, V, D, R, As) en colonnes. Chaque carte occupe une case, et il y en a bien 4 × 8 = 32.

A = « être à cœur » est une ligne (8 cartes). B change au bouton. Regarde bien la case qui porte les deux couleurs : c'est A \cap B, et c'est elle qu'il faut retirer pour ne pas la compter deux fois.

Le même jeu de données se range aussi dans un tableau à double entrée, avec ses marges (les totaux de chaque ligne et de chaque colonne) et son effectif total. Les marges ne sont pas décoratives : ce sont elles qui donnent p(A) et p(B), et ce sont elles qui deviendront le dénominateur au chapitre suivant.

A = « être à cœur », B = « être un roi », dans un jeu de 32 cartes.
	B : roi	B : pas roi	Total
A : cœur	1	7	8
A : pas cœur	3	21	24
Total	4	28	32

Trois lectures du même tableau :

p(A) = 8/32 et p(B) = 4/32 : on lit les marges ;
p(A ∩ B) = 1/32 : la case de croisement, le roi de cœur ;
p(A ∪ B) = 8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32. Vérification par le contraire : la case « ni cœur, ni roi » vaut 21, donc p(A ∪ B) = 1 − 21/32 = 11/32 ✔.

🎮 Entraîne-toi : compter les cartes de A ∪ B

Additionne, puis retire les cartes comptées deux fois.

🎮 Entraîne-toi : lire un diagramme de Venn

Les nombres écrits dans les zones sont des EFFECTIFS, pas des probabilités.

🎮 Entraîne-toi : la formule de la réunion

P(A) + P(B) − P(A ∩ B) : sans oublier de retirer l'intersection.

IV. L'arbre des possibles

Dénombrer avec un arbre Pour une expérience à PLUSIEURS étapes (deux lancers de pièce…), l'arbre des possibles liste toutes les issues : un niveau par étape, une branche par résultat.
Exemple : deux lancers de pièce : 4 issues (PP, PF, FP, FF). P(« au moins une fois pile ») = 3/4 : trois issues favorables sur quatre. Autre route : 1 − P(FF) = 1 − 1/4 : le contraire, encore lui.

Deux lancers d'une pièce équilibrée : 2 × 2 = 4 issues équiprobables. P(« au moins un pile ») = 3/4 : on compte les feuilles marquées ✔. Autre route, souvent plus rapide : passer par le contraire, 1 − P(F ; F) = 1 − 1/4 = 3/4.

V. Les pièges du chapitre

⚠️ Équiprobable ou pas : vérifier avant de compter La formule favorables/total EXIGE des issues équiprobables. Pour la somme de deux dés, les issues 2 à 12 ne sont PAS équiprobables (le 7 sort bien plus que le 2) : il faut compter les 36 couples équiprobables, pas les 11 sommes.

Les 36 couples sont équiprobables, les 11 sommes ne le sont pas. Clique sur une somme : la diagonale correspondante s'allume, et tu vois combien de couples la réalisent. La somme 7 en a 6, la somme 2 n'en a qu'un seul.

⚠️ « Ou » ne veut pas dire « additionner » P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n'est vraie que si A et B sont INCOMPATIBLES (aucune issue commune). Sinon, l'oubli du −P(A ∩ B) compte deux fois les issues communes : c'est l'erreur numéro un du chapitre.
Le contre-exemple à garder en tête : « être un roi » et « être à cœur ». Le roi de cœur est dans les deux à la fois, donc A ∩ B ≠ ∅. 4/32 + 8/32 donnerait 12/32, alors que la réponse est 11/32 : le roi de cœur a été compté deux fois.

👆 ▶ À toi : on tire une carte d'un jeu de 32. A = « cœur », B = « figure (R, D, V) ». Calcule P(A), P(B), P(A ∩ B) puis P(A ∪ B). Vérifie

P(A) = 8/32 = 1/4 ; P(B) = 12/32 = 3/8 ; A ∩ B = figures de cœur : P(A ∩ B) = 3/32.
P(A ∪ B) = 8/32 + 12/32 − 3/32 = 17/32 (l'addition seule aurait donné 20/32 : les 3 figures de cœur comptées deux fois).

📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre