Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Statistiques bivariées
Croiser deux caractères qualitatifs dans un tableau, et lire les bonnes fréquences
I. Deux caractères qualitatifs, un tableau croisé
Variable qualitative
Un caractère est qualitatif quand ses valeurs sont des CATÉGORIES, pas des nombres : sexe, profession, espèce, département… (qualitatif nominal, sans ordre) ou niveau d'étude, degré de satisfaction… (qualitatif ordinal, avec un ordre naturel).
Croiser DEUX caractères qualitatifs sur la même population, c'est compter combien d'individus cumulent chaque paire de catégories.
Croiser DEUX caractères qualitatifs sur la même population, c'est compter combien d'individus cumulent chaque paire de catégories.
Le tableau croisé d'effectifs
Un club sportif de 200 membres : chaque membre pratique le tennis OU la natation, et est un homme OU une femme.
Les cases INTÉRIEURES sont les effectifs croisés (ex : 60 hommes jouent au tennis). La ligne et la colonne « Total » sont les effectifs marginaux (ex : 100 hommes en tout, 90 joueurs de tennis en tout).
| Tennis | Natation | Total | |
|---|---|---|---|
| Hommes | 60 | 40 | 100 |
| Femmes | 30 | 70 | 100 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
🎮 Entraîne-toi : lire un tableau croisé
Effectif croisé = case intérieure ; effectif marginal = case Total.
II. Fréquence marginale
Fréquence marginale
La fréquence marginale d'une catégorie est son effectif marginal divisé par l'effectif TOTAL de la population : elle ignore l'autre caractère.
Exemple : fréquence marginale « Tennis » = 90 / 200 = 0,45 (45 % des 200 membres jouent au tennis, homme ou femme confondus). Fréquence marginale « Hommes » = 100 / 200 = 0,5.
Exemple : fréquence marginale « Tennis » = 90 / 200 = 0,45 (45 % des 200 membres jouent au tennis, homme ou femme confondus). Fréquence marginale « Hommes » = 100 / 200 = 0,5.
🎮 Entraîne-toi : la fréquence marginale
Effectif marginal divisé par l'effectif total de la population.
III. Fréquence conditionnelle
Fréquence conditionnelle : on se restreint à une sous-population
La fréquence conditionnelle répond à « PARMI [une sous-population], quelle proportion a [telle catégorie] ? » : on divise par le total de la LIGNE ou de la COLONNE choisie, pas par le total général.
Fréquence de « Tennis » PARMI les hommes : 60 / 100 = 0,6 (60 % des hommes jouent au tennis). Fréquence de « Hommes » PARMI les joueurs de tennis : 60 / 90 ≈ 0,667 (66,7 % des joueurs de tennis sont des hommes) : DEUX fréquences différentes, pour deux questions différentes.
Fréquence de « Tennis » PARMI les hommes : 60 / 100 = 0,6 (60 % des hommes jouent au tennis). Fréquence de « Hommes » PARMI les joueurs de tennis : 60 / 90 ≈ 0,667 (66,7 % des joueurs de tennis sont des hommes) : DEUX fréquences différentes, pour deux questions différentes.
Choisis d'abord la population dans laquelle tu comptes (le dénominateur), puis clique sur la case qui t'intéresse (le numérateur). Tout ce qui sort de la population choisie s'éteint : c'est exactement ce que fait le mot « parmi ».
| Tennis | Natation | Total | |
|---|---|---|---|
| Hommes | 60 | 40 | 100 |
| Femmes | 30 | 70 | 100 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
⚠️ Le sens change tout : bien identifier la sous-population
« Fréquence de A parmi B » se lit de DROITE à GAUCHE : on part de la sous-population B (le dénominateur), puis on regarde la part de A dedans. Inverser A et B change le résultat : comme « la moitié des médecins sont des femmes » ne veut pas dire « la moitié des femmes sont médecins ».
🎮 Entraîne-toi : la fréquence conditionnelle
Identifie la sous-population (le dénominateur), puis divise.
🎮 Entraîne-toi : par quoi faut-il DIVISER ?
Ne calcule rien : repère seulement la population dans laquelle on compte.
IV. Compléter un tableau croisé
Raisonner sur les effectifs
Quand une case manque, on l'obtient par ADDITION ou SOUSTRACTION à partir des totaux : une ligne (ou une colonne) complète, plus son total, détermine la case manquante.
Exemple : si Hommes-Tennis = 60 et Total Hommes = 100, alors Hommes-Natation = 100 − 60 = 40. Si en plus Total Tennis = 90, alors Femmes-Tennis = 90 − 60 = 30.
Exemple : si Hommes-Tennis = 60 et Total Hommes = 100, alors Hommes-Natation = 100 − 60 = 40. Si en plus Total Tennis = 90, alors Femmes-Tennis = 90 − 60 = 30.
🎮 Entraîne-toi : compléter un tableau croisé
Case manquante = total de la ligne (ou colonne) moins les cases connues.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ Marginale ou conditionnelle : quel dénominateur ?
Marginale : on divise par l'effectif TOTAL de toute la population. Conditionnelle : on divise par le total d'UNE SEULE ligne ou colonne (la sous-population visée par « parmi »). Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
⚠️ Une association n'est pas une cause
Même dans un tableau croisé, observer que deux caractères varient ensemble ne prouve pas qu'un caractère « cause » l'autre : seule l'observation d'une ASSOCIATION statistique est établie, jamais un lien de cause à effet.
👆 ▶ À toi : dans un lycée de 300 élèves, 180 sont en filière générale, 80 filles sont en filière générale et 70 filles sont en filière technologique. Dresse le tableau croisé complet, puis donne la fréquence de filles PARMI les élèves de filière générale. Vérifie
Filles : 80 (générale) + 70 (techno) = 150 filles en tout, donc 150 garçons. Filière générale : 180 en tout, dont 80 filles, donc 100 garçons. Filière techno : 300 − 180 = 120, dont 70 filles, donc 50 garçons.
Fréquence de filles PARMI la filière générale : 80 / 180 ≈ 0,444 (44,4 %).
| Générale | Techno | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 80 | 70 | 150 |
| Garçons | 100 | 50 | 150 |
| Total | 180 | 120 | 300 |
VI. Et si les deux caractères sont des NOMBRES ?
Du tableau croisé au nuage de points
Tout ce qui précède concerne deux caractères qualitatifs (des catégories) : on les croise dans un tableau. Quand les deux caractères sont quantitatifs (des nombres : une durée, une taille, une note), on ne fait plus de tableau croisé : on place chaque individu comme un point (x\,;y) dans un repère. L'ensemble de ces points s'appelle un nuage de points.
Au-delà du programme de 2nde
Cette partie n'est pas exigible cette année : elle ne tombera pas en contrôle.
Elle est là pour que tu voies d'où viennent les nuages de points, et pourquoi
une seule donnée bizarre peut retourner une conclusion. Tu retravailleras
l'ajustement affine en 1re et en terminale : la lire maintenant te fera prendre de l'avance.
Chaque point est un élève : en abscisse ses heures de révision, en ordonnée sa note. Attrape le point orange et emmène-le n'importe où : regarde la droite basculer alors qu'aucun autre élève n'a bougé.
avec les 8 points y = −0,32x + 11,41
sans le point orange y = x + 7
Tous les points se déplacent, pas seulement l'orange : attrape-en un et promène-le dans le repère.
⚠️ Une donnée aberrante peut retourner une conclusion
Une seule valeur bizarre (une erreur de saisie, un cas très particulier) suffit à faire pencher la droite dans l'autre sens. Avant de conclure « plus on révise, moins on réussit », il faut donc toujours : regarder le nuage, repérer les points isolés, et se demander d'où ils viennent. Et même quand le nuage est net, cela reste une association, jamais une preuve de cause à effet.