Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Statistiques continues

Quand les données se comptent par classes : histogrammes, fréquences et moyennes estimées

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I. Des données rangées en classes

Pourquoi des classes ? Quand un caractère est continu (taille, durée, masse…), les valeurs sont toutes différentes : on les regroupe en classes, des intervalles du type [150 ; 155[.

La classe [a ; b[ contient les valeurs de a INCLUS à b EXCLU : une mesure de 155 cm va dans [155 ; 160[, pas dans [150 ; 155[ ;
l'amplitude de la classe est b − a ;
son centre est (a + b)/2 : il servira pour les calculs ;
la classe modale est celle qui a le plus grand effectif (à amplitudes égales).

Les cinq crochets sont tournés du même côté : chaque classe prend sa borne de gauche et laisse celle de droite à la suivante. Un appel de 10 minutes va donc dans [10\,;15[, jamais dans [5\,;10[. C'est ce petit décalage qui garantit que chaque valeur tombe dans une seule classe : pas de trou, pas de doublon.

🎮 Entraîne-toi : le centre de classe

Centre = (borne gauche + borne droite) divisé par 2.

II. L'histogramme

L'aire porte l'information Un histogramme représente une série en classes par des rectangles accolés :

classes de MÊME amplitude : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (lecture directe) ;
classes d'amplitudes DIFFÉRENTES : c'est l'AIRE qui est proportionnelle à l'effectif : la hauteur représente alors la densité = effectif : amplitude.

Exemple : [20 ; 30[ avec 6 personnes (densité 0,6) et [30 ; 50[ avec 10 personnes (densité 0,5) : le premier rectangle est PLUS HAUT malgré un effectif plus faible.

Voici la durée de 40 appels, rangée en trois classes de largeurs différentes. Fais glisser les deux bornes sur l'axe, change les effectifs, et surveille la barre la plus haute : ce n'est pas toujours celle qui contient le plus de monde.

Attrape une borne (les deux gros points sur l'axe) et fais-la glisser ; les boutons − et + changent les effectifs.

Chaque rectangle a pour aire l'effectif de sa classe. Sa hauteur est donc la densité = effectif : amplitude. Élargis une classe sans toucher à son effectif : l'aire ne change pas, donc la barre s'écrase. C'est tout le chapitre en un geste.

🎮 Entraîne-toi : la densité d'une classe

Densité = effectif divisé par l'amplitude de la classe.

🎮 Entraîne-toi : quelle barre est la plus haute ?

Ne compare pas les effectifs : compare les densités, c'est-à-dire les hauteurs.

III. Fréquences et classe modale

Traduire en fréquences La fréquence d'une classe est : effectif de la classe : effectif total (souvent en %). La somme des fréquences vaut toujours 100 %.
Exemple : effectifs 5, 8, 7 (total 20) : fréquences 25 %, 40 %, 35 %. Les fréquences permettent de comparer deux groupes de tailles différentes : 8 gauchers sur 20 (40 %) pèsent plus que 30 sur 200 (15 %).

🎮 Entraîne-toi : la fréquence d'une classe

Effectif de la classe divisé par l'effectif total, en %.

🎮 Entraîne-toi : la classe modale

À amplitudes égales : la classe qui a le plus grand effectif.

IV. Estimer une moyenne avec les centres

La moyenne estimée Les valeurs individuelles sont perdues dans les classes : on ESTIME la moyenne en remplaçant chaque classe par son CENTRE, pondéré par l'effectif :

\bar{x} \approx \dfrac{n_1 c_1 + n_2 c_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}

Exemple : [0 ; 2[ : 10 appels, [2 ; 6[ : 25, [6 ; 10[ : 15 : centres 1, 4 et 8 : moyenne ≈ (10 + 100 + 120)/50 = 4,6 minutes. C'est une estimation : on suppose les valeurs regroupées au centre de chaque classe.

Chaque classe est remplacée par un poids posé sur son centre, et ce poids est son effectif. La moyenne estimée est l'endroit où la planche tient en équilibre : \begin{aligned}\bar{x} &\approx \dfrac{12\times 5 + 20\times 20 + 8\times 45}{40} \\ &= \dfrac{820}{40} \\ &= 20{,}5\end{aligned} Le gros paquet de 20 appels tire l'équilibre vers lui : la moyenne n'est pas au milieu de 0 et 60.
Reviens sur l'atelier de la partie II et appuie sur « Montrer les centres et la moyenne estimée » : tu verras ce pivot bouger quand tu changes les effectifs.

🎮 Entraîne-toi : la moyenne estimée

Centre de chaque classe × effectif, somme, puis divise par le total.

V. Les pièges du chapitre

⚠️ [a ; b[ : la borne droite est EXCLUE Le crochet tourné vers l'extérieur exclut la valeur : 20 appartient à [20 ; 30[, pas à [10 ; 20[. C'est ce qui permet de classer CHAQUE valeur dans UNE SEULE classe, sans doublon ni oubli.

⚠️ Hauteur ≠ effectif quand les amplitudes changent Dans un histogramme à classes inégales, comparer les HAUTEURS revient à comparer les densités, pas les effectifs. Une classe deux fois plus large avec le même effectif est deux fois moins haute : toujours vérifier les amplitudes avant de conclure.

👆 ▶ À toi : classes [0 ; 4[ : 6 élèves, [4 ; 12[ : 10 élèves. Densités ? Quel rectangle est le plus haut ? Vérifie

Densités : 6/4 = 1,5 et 10/8 = 1,25.
Le rectangle de [0 ; 4[ est LE PLUS HAUT, alors que son effectif est plus faible : à amplitudes inégales, c'est l'aire qui reflète l'effectif.

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