Fiche de cours Logimaths | Seconde

Fiche de cours : Statistiques descriptives

Résumer une série de données : position (moyenne, médiane) et dispersion (étendue, quartiles, écart-type)

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I. Moyenne, médiane, étendue

Trois résumés, trois informations

Moyenne : somme des valeurs divisée par l'effectif ;
médiane : la valeur qui partage la série ORDONNÉE en deux groupes de même effectif (effectif impair : valeur centrale ; pair : moyenne des deux valeurs centrales) ;
étendue : plus grande valeur − plus petite valeur (une mesure de dispersion).

Moyenne et médiane peuvent différer nettement : dans la série 2 ; 3 ; 4 ; 91, la moyenne vaut 25, la médiane 3,5 : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, pas la moyenne.

Une phrase de cours ne suffit pas ici : il faut le voir bouger. Attrape un point et tire-le vers la droite, jusqu'à 20. Regarde bien lequel des deux repères se met à courir derrière lui.

moyenne 11 médiane 11 étendue 6

Au doigt comme à la souris : appuie sur un point et fais-le glisser le long de l'axe.

Les 7 notes de la série sont les points violets. Le point entouré de bleu est celui qui donne la médiane : c'est toujours le point du milieu une fois la série rangée. Repère rose pointillé : la moyenne. Repère bleu plein : la médiane.

⚠️ Ce que l'atelier montre, et qu'il faut retenir Quand tu tires une seule note vers 20, la moyenne suit le mouvement : elle utilise la valeur de chaque donnée, donc une valeur qui s'envole tire toute la somme avec elle. La médiane, elle, ne bouge pas : elle n'utilise que le rang des données, et le point du milieu reste le point du milieu, que le dernier vale 14 ou 20 ou 1000.
Conséquence, et c'est pour cela que les journaux publient des salaires médians : la médiane est robuste, la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

🎮 Entraîne-toi : qui bouge, la moyenne ou la médiane ?

Demande-toi à chaque fois : est-ce que la SOMME change ? est-ce que la valeur du MILIEU change ?

La linéarité de la moyenne

Si on MULTIPLIE toutes les valeurs par a, la moyenne est multipliée par a ;
si on AJOUTE b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b.

Exemple : prix moyen 1,53 € ; après une hausse de 30 % puis une remise de 0,15 €, la nouvelle moyenne est 1,53 × 1,3 − 0,15 = 1,839 € : inutile de recalculer valeur par valeur. (Attention : la médiane ne suit pas ces règles pour des modifications partielles.)

🎮 Entraîne-toi : calculer une moyenne

Additionne tout, divise par le nombre de valeurs.

🎮 Entraîne-toi : trouver la médiane

ORDONNE la série d'abord, puis prends la valeur centrale.

II. Quartiles et écart interquartile

Q1, Q3 et l'écart interquartile Sur la série ORDONNÉE d'effectif n :

le premier quartile Q₁ est la première valeur dont le rang dépasse (ou atteint) n/4 ;
le troisième quartile Q₃ est la première valeur dont le rang dépasse (ou atteint) 3n/4 ;
l'écart interquartile Q₃ − Q₁ mesure l'étalement de la moitié centrale des données.

Exemple : 8 valeurs : n/4 = 2 et 3n/4 = 6 : Q₁ est la 2ᵉ valeur, Q₃ la 6ᵉ. Avec 9 valeurs : 9/4 = 2,25 → 3ᵉ valeur, 27/4 = 6,75 → 7ᵉ valeur (on arrondit AU-DESSUS).

La boîte à moustaches, c'est toute la série résumée en cinq nombres : le minimum, Q_1, la médiane, Q_3 et le maximum. Déplace les points de la série : la boîte se reconstruit au-dessus, en direct.

min 5 Q₁ 7 médiane 10,5 Q₃ 13 max 18

La boîte va de Q_1 à Q_3 : elle contient la moitié centrale des données. Sa largeur est l'écart interquartile. Les moustaches vont jusqu'au minimum et au maximum : elles portent l'étendue. Le trait bleu à l'intérieur est la médiane, et ce n'est presque jamais le milieu de la boîte.

🎮 Entraîne-toi : lire les quartiles

n/4 pour Q1, 3n/4 pour Q3, arrondis au rang supérieur.

III. Moyenne pondérée, variance, écart-type

La moyenne pondérée Quand les valeurs x₁, x₂, … ont des effectifs n₁, n₂, … :

\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}

Chaque valeur pèse selon son effectif. Pour des données en classes ([150 ; 155[, …), on prend le CENTRE de chaque classe comme valeur.

Variance et écart-type La variance V est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne :

V = \dfrac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}

et l'écart-type est \sigma = \sqrt{V} : il mesure la dispersion AUTOUR DE LA MOYENNE (même unité que les données).
Deux classes peuvent avoir la même moyenne de 12 avec des écarts-types très différents : notes resserrées autour de 12, ou moitié de 4 et moitié de 20. En pratique, σ se calcule à la calculatrice : savoir l'INTERPRÉTER compte plus que le calcul à la main.

🧮 À la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas Moyenne, médiane, quartiles et écart-type se lisent EN UNE FOIS dans le mode statistiques. Entraîne-toi avec la série 9 ; 10 ; 13 ; 14 ; 15 : tu dois retrouver \bar{x} = 12{,}2 et σ ≈ 2,32 sur les trois calculatrices du lycée.

NumWorks (l'appli Statistiques fait tout)

touche 🏠, ouvre l'appli Statistiques avec OK ;
entre les valeurs dans la colonne V1 (et les effectifs dans N1 : laisse 1 quand chaque valeur n'apparaît qu'une fois) ;
onglet Stats en haut de l'écran : moyenne, écart-type σ, médiane et quartiles s'affichent d'un coup.

Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)

MENU, ouvre Statistiques et entre les valeurs dans List 1 (les effectifs éventuels dans List 2) ;
F2 CALC puis F6 SET : 1Var XList : List1, 1Var Freq : 1 (ou List2 si tu as des effectifs), et F1 1-VAR ;
lis \bar{x} (moyenne) et σx (écart-type) : attention, la ligne sx juste à côté n'est PAS l'écart-type demandé au lycée.

TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)

touche stats, choisis Modifier et remplis L1 (les effectifs éventuels dans L2) ;
stats, menu CALC, choisis Stats 1-Var : ListeX : L1 (ListeEffectifs : L2 si besoin), puis Calculer ;
lis \bar{x} et σx : là aussi, ignore la ligne Sx juste au-dessus.

Deux classes peuvent avoir la même moyenne et n'avoir rien à voir. Bouge le curseur : la moyenne reste clouée au même endroit, et pourtant la série change complètement d'allure.

resserrer étaler

moyenne 10 écart-type σ 1,5

Tu peux aussi attraper un point à la main : le curseur repart alors de la nouvelle série.

La bande orange est l'intervalle [\,\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma\,] : c'est « la zone où se tient le gros de la classe ». Plus les points sont serrés autour du repère rose, plus \sigma est petit ; plus ils fuient vers les bords, plus \sigma grandit. Et pendant tout ce temps, la moyenne ne bouge pas.

⚠️ Moyenne et écart-type répondent à deux questions différentes La moyenne dit où se situe la classe (le niveau). L'écart-type dit à quel point elle est homogène (l'étalement). Une classe à 12 de moyenne avec \sigma = 1 est une classe où presque tout le monde est entre 11 et 13 ; une classe à 12 de moyenne avec \sigma = 6 mélange des 6 et des 18. Même moyenne, deux mondes.

🎮 Entraîne-toi : quelle série est la plus dispersée ?

Les deux séries ont la MÊME moyenne : regarde de combien les valeurs s'en écartent.

🎮 Entraîne-toi : la moyenne pondérée

Multiplie chaque valeur par son effectif, additionne, divise par l'effectif total.

IV. Les pièges du chapitre

⚠️ Ordonner AVANT tout Médiane et quartiles se lisent sur la série ORDONNÉE. Chercher la médiane de 15 ; 9 ; 14 ; 13 ; 10 sans trier donne n'importe quoi : triée (9, 10, 13, 14, 15), la médiane est 13, pas 14. Premier réflexe de TOUT exercice de statistiques : trier.

⚠️ La moyenne des moyennes, fausse bonne idée Un groupe de 10 élèves a 8 de moyenne, un groupe de 30 élèves a 12 : la moyenne de classe n'est PAS 10, mais (10 × 8 + 30 × 12)/40 = 11 : il faut PONDÉRER par les effectifs. Additionner deux moyennes sans leurs effectifs n'a aucun sens.

👆 ▶ À toi : série 7 ; 12 ; 9 ; 15 ; 12 ; 5. Donne moyenne, médiane et étendue. Vérifie

Somme = 60, effectif 6 : moyenne 10.
Ordonnée : 5, 7, 9, 12, 12, 15 : effectif pair, médiane = (9 + 12)/2 = 10,5.
Étendue = 15 − 5 = 10.

📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre