Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Arithmétique
Multiples, diviseurs, nombres premiers et fractions irréductibles
I. Multiples et diviseurs
Définition
b est un diviseur de a (ou a est un multiple de b) s'il existe un entier k tel que a = b \times k, c'est-à-dire si la division de a par b a un reste nul.
II. Division euclidienne
Propriété
Pour tout entier a et tout entier b \neq 0, il existe un unique couple (q, r) tel que a = b \times q + r avec {0 \leqslant r < b}.
Exemple : 47 = 6 \times 7 + 5 : le quotient est 7 et le reste est 5.
Exemple : 47 = 6 \times 7 + 5 : le quotient est 7 et le reste est 5.
🎮 Entraîne-toi : la division euclidienne
Cherche combien de fois le diviseur rentre dans le nombre : le reste doit rester plus petit que le diviseur.
III. Critères de divisibilité
Propriété
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple : 414 est divisible par 3 car {4+1+4=9} est un multiple de 3.
Exemple : 414 est divisible par 3 car {4+1+4=9} est un multiple de 3.
🎮 Entraîne-toi : les critères de divisibilité
Regarde le chiffre des unités (pour 2 et 5) ou la somme des chiffres (pour 3 et 9).
IV. Nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un entier n > 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque : Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… (2 est le seul nombre premier pair).
Les nombres premiers de 1 à 30 (encadrés en rose) : ils n'ont que deux diviseurs, 1 et eux-mêmes. Le nombre 1 (encadré en pointillés bleus) n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur.
🎮 Entraîne-toi : le plus petit facteur premier
Teste les nombres premiers dans l'ordre : 2, puis 3, puis 5, puis 7…
V. Décomposition en facteurs premiers
Méthode
On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles, jusqu'à obtenir 1.
Exemple : \begin{aligned}180 &= 2\times 90 \\ &= 2\times 2\times 45 \\ &= 2^2\times 3\times 15 \\ &= 2^2\times 3^2\times 5\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}180 &= 2\times 90 \\ &= 2\times 2\times 45 \\ &= 2^2\times 3\times 15 \\ &= 2^2\times 3^2\times 5\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : lire un exposant dans une décomposition
Divise par le facteur demandé autant de fois que possible, et compte les divisions.
VI. Fractions irréductibles
Propriété
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Pour rendre une fraction irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie tous les facteurs communs.
Exemple : 252 = 2^2\times3^2\times7 et {90 = 2\times3^2\times5} : en simplifiant les facteurs communs (2\times3^2), \begin{aligned}\dfrac{252}{90} &= \dfrac{2\times7}{5} \\ &= \dfrac{14}{5}\end{aligned}
Exemple : 252 = 2^2\times3^2\times7 et {90 = 2\times3^2\times5} : en simplifiant les facteurs communs (2\times3^2), \begin{aligned}\dfrac{252}{90} &= \dfrac{2\times7}{5} \\ &= \dfrac{14}{5}\end{aligned}
VII. Nombres premiers entre eux
Définition
Deux entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), même si aucun des deux n'est un nombre premier.
Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), même si aucun des deux n'est un nombre premier.
VIII. Les pièges du chapitre
⚠️ 1 n'est pas premier (et 2 est le seul pair)
Un nombre premier a EXACTEMENT deux diviseurs. Or 1 n'en a qu'un seul (lui-même) : il n'est donc pas premier. Et 2 est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
⚠️ Le reste doit rester plus petit que le diviseur
Écrire 47 = 6 \times 6 + 11 est un calcul exact, mais ce n'est PAS la division euclidienne : le reste 11 dépasse le diviseur 6. La seule écriture correcte est 47 = 6 \times 7 + 5, avec un reste strictement inférieur à 6.
⚠️ Premiers entre eux, ce n'est pas être premiers
14 et 15 ne sont premiers ni l'un ni l'autre, et pourtant ils sont premiers ENTRE EUX : cette expression parle de leur seul diviseur commun (qui est 1), pas de chaque nombre pris séparément.
👆 ▶ À toi : décompose 60 et 84 en facteurs premiers, puis rends la fraction 60/84 irréductible. Vérifie
60 = 2^2 \times 3 \times 5 et 84 = 2^2 \times 3 \times 7.
Facteurs communs : 2^2 \times 3 = 12, donc \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}.
Facteurs communs : 2^2 \times 3 = 12, donc \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}.