Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Arithmétique
12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Division euclidienne⭐
- Effectuer la division euclidienne de 173 par 12.
- Vérifier le résultat en utilisant l'égalité a=bq+r.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) 173 = 12\times14+5 : quotient \mathbf{14}, reste \mathbf{5}.
b) \begin{aligned}12\times14+5 &= 168+5 \\ &= 173\end{aligned} \checkmark.
b) \begin{aligned}12\times14+5 &= 168+5 \\ &= 173\end{aligned} \checkmark.
Exercice 2 : Critères de divisibilité⭐
- Le nombre 342 est-il divisible par 2 ? par 3 ? par 9 ?
- Le nombre 1\,485 est-il divisible par 5 ? par 9 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) Divisible par 2 (chiffre des unités pair). Somme des chiffres 3+4+2=9 : divisible par 3 et par 9.
b) Chiffre des unités 5 : divisible par 5. Somme des chiffres 1+4+8+5=18, multiple de 9 : divisible par 9.
b) Chiffre des unités 5 : divisible par 5. Somme des chiffres 1+4+8+5=18, multiple de 9 : divisible par 9.
Exercice 3 : Nombres premiers⭐
- 91 est-il un nombre premier ? Justifier.
- Lister tous les nombres premiers inférieurs à 30.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) 91=7\times13 : ce n'est pas un nombre premier.
b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Le cœur du chapitre
Exercice 4 : Décomposition en facteurs premiers⭐⭐
- Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
- En déduire tous les diviseurs premiers de 360.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) 360 = 2^3\times3^2\times5.
b) Diviseurs premiers : \mathbf{2, 3, 5}.
b) Diviseurs premiers : \mathbf{2, 3, 5}.
Exercice 5 : Lire la divisibilité dans une décomposition⭐⭐
- Calculer le nombre N = 2^3\times3^2\times5.
- N est-il divisible par 4 ? par 9 ? par 10 ? Justifier sans division.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) \begin{aligned}N &= 8\times9\times5 \\ &= \mathbf{360}\end{aligned}
b) Par 4=2^2 : oui (la décomposition contient 2^3). Par 9=3^2 : oui. Par {10=2\times5} : oui (elle contient un 2 et un 5).
b) Par 4=2^2 : oui (la décomposition contient 2^3). Par 9=3^2 : oui. Par {10=2\times5} : oui (elle contient un 2 et un 5).
Exercice 6 : Décomposer pour trouver les diviseurs communs⭐⭐
- Décomposer 126 et 90 en produits de facteurs premiers.
- En déduire le plus grand diviseur commun à 126 et 90.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) 126=2\times3^2\times7 ; 90=2\times3^2\times5.
b) Facteurs communs : 2 et 3^2 : le plus grand diviseur commun est 2\times3^2=\mathbf{18}.
b) Facteurs communs : 2 et 3^2 : le plus grand diviseur commun est 2\times3^2=\mathbf{18}.
Exercice 7 : Fractions irréductibles et nombres premiers entre eux⭐⭐
- Sachant que le plus grand diviseur commun à 126 et 90 est 18, simplifier la fraction \dfrac{126}{90}.
- Les nombres 15 et 28 sont-ils premiers entre eux ? Justifier en listant leurs diviseurs.
- Que signifie « être premiers entre eux » pour deux entiers ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) \begin{aligned}\dfrac{126}{90} &= \dfrac{126\div18}{90\div18} \\ &= \mathbf{\dfrac{7}{5}}\end{aligned}
b) Diviseurs de 15 : 1,3,5,15. Diviseurs de 28 : 1,2,4,7,14,28. Seul diviseur commun : 1. Donc 15 et 28 sont premiers entre eux.
c) Deux entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
b) Diviseurs de 15 : 1,3,5,15. Diviseurs de 28 : 1,2,4,7,14,28. Seul diviseur commun : 1. Donc 15 et 28 sont premiers entre eux.
c) Deux entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Exercice 8 : Rendre une fraction irréductible⭐⭐
- Décomposer 168 et 180 en produits de facteurs premiers.
- En déduire l'écriture irréductible de \dfrac{168}{180}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) 168=2^3\times3\times7 ; 180=2^2\times3^2\times5.
b) Facteurs communs 2^2\times3=12 : \begin{aligned}\dfrac{168}{180} &= \dfrac{2\times7}{3\times5} \\ &= \mathbf{\dfrac{14}{15}}\end{aligned}
b) Facteurs communs 2^2\times3=12 : \begin{aligned}\dfrac{168}{180} &= \dfrac{2\times7}{3\times5} \\ &= \mathbf{\dfrac{14}{15}}\end{aligned}
Exercice 9 : Un problème de division euclidienne⭐⭐
- Un fleuriste dispose de 187 roses et confectionne des bouquets de 12 roses. Combien de bouquets complets peut-il faire ?
- Combien de roses lui reste-t-il ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) 187 = 12\times15+7 : il peut faire \mathbf{15} bouquets complets.
b) Il reste \mathbf{7} roses (le reste de la division euclidienne, avec 7<12).
b) Il reste \mathbf{7} roses (le reste de la division euclidienne, avec 7<12).
Pour aller plus loin
Exercice 10 : Trouver un reste sans poser toute la division⭐⭐⭐
- Quel est le reste de la division euclidienne de 2 023 par 9 ?
- Quel est le reste de la division euclidienne de 505 par 7 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) 2 023 = 9\times224+7 : le reste est \mathbf{7}.
b) 505 = 7\times72+1 : le reste est \mathbf{1}.
b) 505 = 7\times72+1 : le reste est \mathbf{1}.
Exercice 11 : Problème de partage égal⭐⭐⭐
- On veut répartir 84 crayons et 60 gommes en lots identiques, sans reste, avec le plus grand nombre de lots possible. Calculer ce nombre de lots.
- Donner la composition de chaque lot.
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) Diviseurs de 84 : 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84. Diviseurs de 60 : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Le plus grand diviseur commun est 12 : on peut former \mathbf{12} lots.
b) Chaque lot contient 84\div12=7 crayons et 60\div12=5 gommes.
b) Chaque lot contient 84\div12=7 crayons et 60\div12=5 gommes.
Exercice 12 : Problème complet⭐⭐⭐
- Un fleuriste dispose de 45 roses et 75 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques (même nombre de chaque fleur) sans qu'il en reste. Quel est le nombre maximal de bouquets possibles ?
- Donner la composition de chaque bouquet.
- Ces deux nombres de fleurs par bouquet sont-ils premiers entre eux ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) Diviseurs de 45 : 1,3,5,9,15,45. Diviseurs de 75 : 1,3,5,15,25,75. Le plus grand diviseur commun est \mathbf{15} : 15 bouquets.
b) Chaque bouquet contient 45\div15=3 roses et 75\div15=5 tulipes.
c) Leur seul diviseur commun est 1 : oui, 3 et 5 sont premiers entre eux.
b) Chaque bouquet contient 45\div15=3 roses et 75\div15=5 tulipes.
c) Leur seul diviseur commun est 1 : oui, 3 et 5 sont premiers entre eux.