Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Calculs numériques
Relatifs, fractions, puissances : les automatismes qui portent toute l'année de 3ème
I. Relatifs et priorités
La règle des signes et l'ordre des calculs
- Produit ou quotient de deux nombres de MÊME signe : résultat positif ; de signes CONTRAIRES : négatif ((−2) × (−3) = 6, 2 × (−3) = −6) ;
- ordre des priorités : Parenthèses, Exposants, Multiplications-Divisions, Additions-Soustractions (le mot « PEMDAS ») ;
- à priorité égale (× et :), on calcule de GAUCHE À DROITE : 15 : 3 × 4 = 5 × 4 = 20.
🎮 Entraîne-toi : priorités et relatifs
Multiplication d'abord, puis la règle des signes.
II. Les fractions
Les quatre opérations
- Addition, soustraction : MÊME dénominateur d'abord, puis on additionne les numérateurs : \begin{aligned}\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{5} &= \dfrac{25}{15} - \dfrac{18}{15} \\ &= \dfrac{7}{15}\end{aligned}
- multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux ;
- division : multiplier par l'INVERSE : \begin{aligned}\dfrac{3}{4} : \dfrac{-5}{8} &= \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{-5} \\ &= -\dfrac{6}{5}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : multiplier une fraction
Simplifie avant de multiplier : le résultat est entier.
III. Les puissances
Définition, signes, exposants négatifs
- aⁿ = produit de n facteurs a : 2³ = 8 ; a¹ = a, a⁰ = 1 ;
- signes : (−3)³ = −27 (le signe est DANS la puissance) mais −5² = −25 (sans parenthèse, c'est 5 qui est au carré) ;
- exposant négatif = INVERSE : a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} : 2⁻⁴ = 1/16.
🎮 Entraîne-toi : puissances et signes
Parenthèse = signe dans la puissance ; exposant pair = positif.
IV. La notation scientifique
a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit a \times 10^n avec a entre 1 et 10 (10 exclu).
- 34 000 = 3,4 × 10⁴ (grand nombre : exposant positif) ;
- 0,000 34 = 3,4 × 10⁻⁴ (petit nombre : exposant négatif) ;
- 11,3 × 10⁶ n'est PAS une notation scientifique (11,3 ≥ 10) : on corrige en 1,13 × 10⁷.
🎮 Entraîne-toi : la notation scientifique
Virgule après le premier chiffre non nul, compte le décalage.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ Même dénominateur : seulement pour + et −
Mettre au même dénominateur pour MULTIPLIER est du travail inutile (et une source d'erreurs) : on multiplie directement en croix des numérateurs et dénominateurs, en simplifiant AVANT si possible.
⚠️ −5² = −25, pas 25
Sans parenthèses, l'exposant s'applique AVANT le signe moins (E avant S dans PEMDAS) : −5² = −(5 × 5) = −25. Seul (−5)² vaut 25. Cette distinction revient dans TOUS les contrôles.
👆 ▶ À toi : calcule 5 + (−12 + 8) × 3, puis écris 0,002 31 en notation scientifique. Vérifie
Parenthèses d'abord : 5 + (−4) × 3 = 5 − 12 = −7.
0,002 31 = 2,31 × 10⁻³ (virgule décalée de 3 rangs).
0,002 31 = 2,31 × 10⁻³ (virgule décalée de 3 rangs).