Fiche de cours Logimaths | Troisième

Fiche de cours : Développements

Distributivité simple, double et identités remarquables

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I. Distributivité simple

Propriété Pour tous nombres k, a, b : {k(a+b) = ka + kb} et k(a-b) = ka - kb.
Exemple : \begin{aligned}5(2x-3) &= 5 \times 2x - 5 \times 3 \\ &= 10x - 15\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : la distributivité simple

Multiplie le facteur devant la parenthèse par CHAQUE terme.

II. Distributivité double

Propriété Pour développer un produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : {(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd}.
Exemple : \begin{aligned}(2x+3)(x-4) &= 2x^2 - 8x + 3x - 12 \\ &= 2x^2 - 5x - 12\end{aligned}

Modèle de l'aire : {(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd} : chaque petit rectangle est l'aire d'un des quatre produits.

🎮 Entraîne-toi : la double distributivité

Les deux termes en x se regroupent : additionne-les.

III. Identités remarquables

Théorème (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
Remarque : ces trois égalités se retrouvent en développant, mais il faut apprendre à les reconnaître directement : elles servent aussi (dans l'autre sens) à factoriser.
Exemple : \begin{aligned}(3x-2)^2 &= (3x)^2 - 2\times 3x \times 2 + 2^2 \\ &= 9x^2 - 12x + 4\end{aligned}

D'où sort le double produit ? Du carré découpé

Un carré de côté a+b se découpe en quatre morceaux : un carré a^2, un carré b^2… et deux rectangles ab. Ce sont ces deux-là qu'on oublie, et c'est exactement le 2ab de la formule.

La poignée blanche déplace la coupure (horizontalement et verticalement en même temps, car c'est un carré) ; la poignée rose change le côté total.

⚠️ Et pour (a-b)^2 ? Même découpage, mais on part du carré de côté a et on enlève deux bandes de largeur b. En les enlevant toutes les deux, on a retiré deux fois le petit carré du coin, alors qu'il n'y en a qu'un : on le remet une fois. D'où {(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2} : le signe change devant le double produit, jamais devant b^2 (une aire n'est jamais négative).

{a^2-b^2} : on découpe, on recolle

On part d'un carré de côté a auquel on retire un carré de côté b. La forme obtenue se coupe en deux morceaux qui se recollent en un rectangle : c'est lui qui donne (a-b)(a+b).

La poignée rose règle a, la poignée bleue règle b. L'aire ne change ni au découpage, ni au recollement : a^2-b^2=(a-b)(a+b).

🎮 Entraîne-toi : le carré d'une somme ou d'une différence

Le terme constant est le carré du second terme.

IV. Développer puis réduire

Méthode Après avoir développé, on réduit l'expression en regroupant les termes de même nature (les termes en x^2 entre eux, ceux en x entre eux, les nombres seuls entre eux).
Exemple : \begin{aligned}(x+1)^2 - (2x-3)(x+1) &= x^2+2x+1 - (2x^2-x-3) \\ &= -x^2+3x+4\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : réduire une expression

Regroupe les termes en x ensemble, et les nombres seuls ensemble.

V. Développer un produit de trois facteurs

Méthode Pour développer (a+b)(c+d)(e+f), on développe d'abord deux facteurs entre eux, puis on développe le résultat obtenu avec le troisième facteur.
Exemple : \begin{aligned}(x+1)(x-1)(x+2) &= (x^2-1)(x+2) \\ &= x^3+2x^2-x-2\end{aligned}

VI. Développer avec un coefficient négatif

Méthode Lorsqu'on développe -(a+b) ou -k(a+b), il faut changer le signe de chaque terme de la parenthèse : -(a+b) = -a-b.
Exemple : \begin{aligned}5 - 3(2x-1) &= 5 - 6x + 3 \\ &= -6x + 8\end{aligned} (attention au piège du signe).

VII. Reconnaître une identité remarquable déguisée

Méthode Certaines expressions ne ressemblent pas immédiatement à (a+b)^2 ou {a^2-b^2} : il faut d'abord identifier a et b (souvent des expressions complètes), puis vérifier le double produit.
Exemple : (2x+1)^2 - (x-3)^2 est de la forme A^2-B^2 avec A=2x+1 et {B=x-3}.

🎮 Entraîne-toi : reconnaître l'identité remarquable

Observe la forme de l'expression avant de développer.

VIII. Développer une expression avec plusieurs parenthèses

Méthode Pour une expression comme {2(x+1)^2 - 3(x-2)(x+2)}, on développe chaque terme séparément avant de réduire l'ensemble.
Exemple : \begin{aligned}2(x+1)^2 - 3(x-2)(x+2) &= 2(x^2+2x+1) - 3(x^2-4) \\ &= 2x^2+4x+2-3x^2+12 \\ &= -x^2+4x+14\end{aligned}

IX. Vérifier un développement

Méthode Pour vérifier un développement, on remplace x par une valeur numérique simple (par exemple x=1) dans l'expression de départ et dans le résultat développé : les deux doivent donner le même nombre.
Exemple : (x+2)^2 = x^2+4x+4 : pour x=1, (1+2)^2=9 et 1+4+4=9. Les deux coïncident.

X. Développer une expression littérale à deux variables

Méthode Les mêmes règles de distributivité et d'identités remarquables s'appliquent lorsque l'expression contient deux lettres, par exemple x et y.
Exemple : (2x-y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2.

XI. Les pièges du chapitre

⚠️ (a + b)² n'est pas a² + b² Ne pas confondre (a+b)^2 avec a^2+b^2 : il manque le double produit 2ab.

⚠️ −3² ou (−3)² ? -3^2 = -9 (le carré porte uniquement sur 3), alors que (-3)^2 = 9.

👆 ▶ À toi : développe et réduis (x + 3)² − (x + 1)(x − 2). Vérifie

(x+3)^2 = x^2+6x+9 et \begin{aligned}(x+1)(x-2) &= x^2-2x+x-2 \\ &= x^2-x-2\end{aligned}
Donc \begin{aligned}(x+3)^2 - (x+1)(x-2) &= x^2+6x+9 - (x^2-x-2) \\ &= x^2+6x+9-x^2+x+2 \\ &= \mathbf{7x+11}\end{aligned}
Vérification avec x=1 : {4^2 - 2\times(-1) = 18} et 7+11 = 18. Les deux coïncident.

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