Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Développements
12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Identités remarquables⭐
- Développer A = (x+4)^2.
- Développer B = (2x-3)^2.
- Développer C = (x+5)(x-5).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) \begin{aligned}A &= x^2+2\times x\times4+4^2 \\ &= \mathbf{x^2+8x+16}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= (2x)^2-2\times2x\times3+3^2 \\ &= \mathbf{4x^2-12x+9}\end{aligned}
c) \begin{aligned}C &= x^2-5^2 \\ &= \mathbf{x^2-25}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= (2x)^2-2\times2x\times3+3^2 \\ &= \mathbf{4x^2-12x+9}\end{aligned}
c) \begin{aligned}C &= x^2-5^2 \\ &= \mathbf{x^2-25}\end{aligned}
Exercice 2 : Développer une expression composée⭐
- Développer (x-1)(x+2).
- Développer (x-3)^2.
- En déduire le développement réduit de D = (x-1)(x+2) - (x-3)^2.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) \begin{aligned}(x-1)(x+2) &= x^2+2x-x-2 \\ &= \mathbf{x^2+x-2}\end{aligned}
b) (x-3)^2 = \mathbf{x^2-6x+9}.
c) \begin{aligned}D &= (x^2+x-2)-(x^2-6x+9) \\ &= x^2+x-2-x^2+6x-9 \\ &= \mathbf{7x-11}\end{aligned}
b) (x-3)^2 = \mathbf{x^2-6x+9}.
c) \begin{aligned}D &= (x^2+x-2)-(x^2-6x+9) \\ &= x^2+x-2-x^2+6x-9 \\ &= \mathbf{7x-11}\end{aligned}
Exercice 3 : Distributivité simple et double⭐
- Développer A = 4(3x-2).
- Développer B = (x+3)(2x-1).
- Développer et réduire C = A+B.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) A = \mathbf{12x-8}.
b) \begin{aligned}B &= 2x^2-x+6x-3 \\ &= \mathbf{2x^2+5x-3}\end{aligned}
c) \begin{aligned}C &= 12x-8+2x^2+5x-3 \\ &= \mathbf{2x^2+17x-11}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= 2x^2-x+6x-3 \\ &= \mathbf{2x^2+5x-3}\end{aligned}
c) \begin{aligned}C &= 12x-8+2x^2+5x-3 \\ &= \mathbf{2x^2+17x-11}\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 4 : Identité remarquable {(a-b)^2}⭐⭐
- Développer A = (5x-2)^2.
- Développer B = (x-7)^2.
- Calculer A-B en développant puis en réduisant.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) A = 25x^2-20x+4.
b) B = x^2-14x+49.
c) \begin{aligned}A-B &= 25x^2-20x+4-x^2+14x-49 \\ &= \mathbf{24x^2-6x-45}\end{aligned}
b) B = x^2-14x+49.
c) \begin{aligned}A-B &= 25x^2-20x+4-x^2+14x-49 \\ &= \mathbf{24x^2-6x-45}\end{aligned}
Exercice 5 : Identité remarquable (a+b)(a-b)⭐⭐
- Développer A = (3x+4)(3x-4).
- Développer B = (7-2x)(7+2x).
- Calculer l'image de A pour x=2.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) \begin{aligned}A &= (3x)^2-4^2 \\ &= \mathbf{9x^2-16}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= 7^2-(2x)^2 \\ &= \mathbf{49-4x^2}\end{aligned}
c) Pour x=2 : \begin{aligned}A &= 9\times4-16 \\ &= 36-16 \\ &= \mathbf{20}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= 7^2-(2x)^2 \\ &= \mathbf{49-4x^2}\end{aligned}
c) Pour x=2 : \begin{aligned}A &= 9\times4-16 \\ &= 36-16 \\ &= \mathbf{20}\end{aligned}
Exercice 6 : Développer un produit de trois facteurs⭐⭐
- Développer (x+1)(x-2).
- En déduire le développement de (x+1)(x-2)(x+3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) (x+1)(x-2) = \mathbf{x^2-x-2}.
b) \begin{aligned}(x^2-x-2)(x+3) &= x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6 \\ &= \mathbf{x^3+2x^2-5x-6}\end{aligned}
b) \begin{aligned}(x^2-x-2)(x+3) &= x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6 \\ &= \mathbf{x^3+2x^2-5x-6}\end{aligned}
Exercice 7 : Coefficient négatif devant une parenthèse⭐⭐
- Développer A = 7-3(2x-5).
- Développer {B = -2(x+4)+5(x-1)}.
- Calculer A-B en réduisant.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) \begin{aligned}A &= 7-6x+15 \\ &= \mathbf{-6x+22}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= -2x-8+5x-5 \\ &= \mathbf{3x-13}\end{aligned}
c) \begin{aligned}A-B &= -6x+22-3x+13 \\ &= \mathbf{-9x+35}\end{aligned}
b) \begin{aligned}B &= -2x-8+5x-5 \\ &= \mathbf{3x-13}\end{aligned}
c) \begin{aligned}A-B &= -6x+22-3x+13 \\ &= \mathbf{-9x+35}\end{aligned}
Exercice 8 : Développer avec plusieurs parenthèses⭐⭐
- Développer et réduire {E = 3(x-1)^2 - 2(x+2)(x-2)}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) \begin{aligned}3(x^2-2x+1) - 2(x^2-4) &= 3x^2-6x+3-2x^2+8 \\ &= \mathbf{x^2-6x+11}\end{aligned}
Exercice 9 : Reconnaître l'identité remarquable adaptée⭐⭐⭐
- Développer {A = (2x+5)^2} en identifiant l'identité remarquable utilisée.
- Développer B = (4-3x)^2.
- Développer {C = (2x+5)^2 - (4-3x)^2} sans tout redévelopper (indication : forme u^2-v^2).
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) Identité (a+b)^2 : A = 4x^2+20x+25.
b) Identité {(a-b)^2} : B = 16-24x+9x^2.
c) C=(u-v)(u+v) avec u=2x+5, v=4-3x : u-v=5x+1, {u+v=-x+9}, donc \begin{aligned}C &= (5x+1)(-x+9) \\ &= \mathbf{-5x^2+44x+9}\end{aligned}
b) Identité {(a-b)^2} : B = 16-24x+9x^2.
c) C=(u-v)(u+v) avec u=2x+5, v=4-3x : u-v=5x+1, {u+v=-x+9}, donc \begin{aligned}C &= (5x+1)(-x+9) \\ &= \mathbf{-5x^2+44x+9}\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 10 : Vérifier un développement⭐⭐
- Un élève affirme que {(x+3)^2 = x^2+9}. Est-ce correct ? Justifier en développant correctement.
- Vérifier le développement correct pour x=1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) Faux : il manque le double produit. (x+3)^2 = \mathbf{x^2+6x+9}.
b) Pour x=1 : (1+3)^2=16 et {1+6+9=16}. Les deux coïncident, le développement correct est vérifié.
b) Pour x=1 : (1+3)^2=16 et {1+6+9=16}. Les deux coïncident, le développement correct est vérifié.
Exercice 11 : Expression à deux variables⭐⭐
- Développer A = (3x-2y)^2.
- Développer B = (x+y)(x-y).
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) A = 9x^2-12xy+4y^2.
b) B = \mathbf{x^2-y^2}.
b) B = \mathbf{x^2-y^2}.
Exercice 12 : Problème : aire d'un rectangle⭐⭐⭐
- Un rectangle a pour longueur (x+5) cm et pour largeur (x-2) cm. Exprimer son aire A(x) développée et réduite.
- Calculer A(6).
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) \begin{aligned}A(x) &= (x+5)(x-2) \\ &= x^2-2x+5x-10 \\ &= \mathbf{x^2+3x-10}\end{aligned}
b) \begin{aligned}A(6) &= 36+18-10 \\ &= \mathbf{44}\end{aligned} cm^2.
b) \begin{aligned}A(6) &= 36+18-10 \\ &= \mathbf{44}\end{aligned} cm^2.