Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Équations
Résolution d'équations du premier degré et mise en équation
I. Vocabulaire
Équation, inconnue, solutions
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
II. Règles de résolution
Propriété
On ne change pas les solutions d'une équation si l'on ajoute (ou soustrait) un même nombre aux deux membres, ou si l'on multiplie (ou divise) les deux membres par un même nombre non nul.
Résoudre ax + b = c
Pour résoudre ax+b=c (avec a \neq 0) : isoler le terme en x en soustrayant b, puis diviser par a : x = \dfrac{c-b}{a}.
Exemple : 3x+5 = 2x - 1 devient (en soustrayant 2x puis 5) x = -6.
Exemple : 3x+5 = 2x - 1 devient (en soustrayant 2x puis 5) x = -6.
🎮 Entraîne-toi : résoudre ax + b = c
Soustrais b aux deux membres, puis divise par a.
x =
🎮 Entraîne-toi : x des deux côtés
Regroupe les x dans un membre, les nombres dans l'autre.
x =
III. Équation avec parenthèses
Développer d'abord
Si l'équation contient des parenthèses, on commence par les développer avant d'isoler l'inconnue.
Exemple : \begin{aligned}3(x+2) = 2x+11 &\iff 3x+6 = 2x+11 \\ &\iff x = 5 \end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}3(x+2) = 2x+11 &\iff 3x+6 = 2x+11 \\ &\iff x = 5 \end{aligned}
IV. Équation avec des fractions
Chasser les dénominateurs
Si l'équation contient des dénominateurs numériques, on multiplie les deux membres par le plus petit dénominateur commun pour les faire disparaître, avant de résoudre normalement.
Exemple : \dfrac{x}{2}+1 = \dfrac{x}{3} : en multipliant par 6, 3x+6=2x, donc x=-6.
Exemple : \dfrac{x}{2}+1 = \dfrac{x}{3} : en multipliant par 6, 3x+6=2x, donc x=-6.
V. Mise en équation d'un problème
Les 4 étapes
- Choisir l'inconnue et la nommer clairement (« soit x le nombre de… ») ;
- Traduire l'énoncé par une équation ;
- Résoudre l'équation ;
- Vérifier que la solution est cohérente avec l'énoncé, puis conclure par une phrase.
VI. Équation produit nul
Remarque
Lorsque l'équation se présente (ou se factorise) sous la forme d'un produit égal à zéro, on applique le théorème du produit nul (voir la fiche « Factorisations »).
Exemple : (x-4)(x+1)=0 \iff x=4 \text{ ou } x=-1.
Exemple : (x-4)(x+1)=0 \iff x=4 \text{ ou } x=-1.
🎮 Entraîne-toi : équation produit nul
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x =
(la plus petite)
(la plus grande)
VII. Équation sans solution ou avec une infinité de solutions
Les deux cas particuliers
Après simplification, si l'équation devient une égalité fausse (par exemple 0=5), il n'y a aucune solution. Si elle devient une égalité toujours vraie (par exemple 0=0), tout nombre est solution.
Exemple : \begin{aligned}2x+3 = 2x+7 &\iff 3 = 7 \end{aligned} : impossible, donc aucune solution.
Exemple : \begin{aligned}2x+3 = 2x+7 &\iff 3 = 7 \end{aligned} : impossible, donc aucune solution.
VIII. Résoudre une inéquation du premier degré
Le sens de l'inégalité
Les mêmes règles s'appliquent, sauf que la multiplication ou la division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : -2x+3 > 7 \iff -2x>4 \iff x<-2 (le sens change en divisant par -2).
Exemple : -2x+3 > 7 \iff -2x>4 \iff x<-2 (le sens change en divisant par -2).
🎮 Entraîne-toi : résoudre une inéquation
Isole x, et surveille le sens de l'inégalité quand tu divises.
IX. Représenter les solutions d'une inéquation
Sur une droite graduée
L'ensemble des solutions d'une inéquation se représente sur une droite graduée : on repasse en couleur la partie de la droite qui convient, avec un point plein si la borne est solution (inégalité large) ou un point vide sinon (inégalité stricte).
Exemple : les solutions de x \leqslant 4 sont TOUS les nombres inférieurs ou égaux à 4 : on repasse la demi-droite à gauche de 4, point plein en 4.
Exemple : les solutions de x \leqslant 4 sont TOUS les nombres inférieurs ou égaux à 4 : on repasse la demi-droite à gauche de 4, point plein en 4.
Représentation des solutions de x \leqslant 4 (point plein car 4 est inclus).
X. Vérifier une solution
Remplacer dans l'équation de départ
Pour vérifier la solution d'une équation, remplacer l'inconnue par sa valeur trouvée dans l'équation de départ (avant simplification), et vérifier l'égalité.
Exemple : pour x=4 solution de {3x-5=7} : \begin{aligned}3\times4-5 &= 12-5 \\ &= 7\end{aligned} \checkmark.
Exemple : pour x=4 solution de {3x-5=7} : \begin{aligned}3\times4-5 &= 12-5 \\ &= 7\end{aligned} \checkmark.
XI. Traduire une phrase par une inégalité
Les mots-clés
« Au plus », « au moins », « ne dépasse pas », « strictement supérieur » se traduisent respectivement par \leqslant, \geqslant, \leqslant, >.
Exemple : « Le prix ne doit pas dépasser 50 € » se traduit par p \leqslant 50.
Exemple : « Le prix ne doit pas dépasser 50 € » se traduit par p \leqslant 50.
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ Diviser par un négatif (inéquations)
Dans une INÉQUATION, diviser (ou multiplier) les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité : -2x > 4 donne x < -2 (et pas x > -2). Dans une équation, le signe = ne change jamais.
⚠️ Développe TOUTE la parenthèse
Dans 3(x+2), le 3 multiplie tout le contenu de la parenthèse : 3x+6, et pas 3x+2. Oublier de distribuer sur le second terme est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
⚠️ Ne simplifie pas par x
Pour résoudre x(2x-5)=0, ne divise pas les deux membres par x : tu perdrais la solution x=0. Utilise le produit nul : x=0 ou x=2{,}5.
👆 ▶ À toi : résous 2(x − 3) = 4x + 10. Vérifie
2x-6=4x+10, donc {-6-10=4x-2x}, soit -16=2x et x = −8.
Vérification : 2\times(-8-3)=-22 et {4\times(-8)+10=-22} \checkmark.
Vérification : 2\times(-8-3)=-22 et {4\times(-8)+10=-22} \checkmark.