Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Espace
Volumes des solides usuels et sections planes
I. Solides usuels et volumes
Pavé droit, cube et cylindre
Pavé droit (longueur L, largeur l, hauteur h) : V = L \times l \times h.
Cube (arête a) : V = a^3.
Cylindre (rayon r, hauteur h) : V = \pi r^2 h.
Exemple : un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \pi \times 4^2 \times 10 \\ &= 160\pi \\ &\approx 502{,}7\end{aligned} cm³.
Cube (arête a) : V = a^3.
Cylindre (rayon r, hauteur h) : V = \pi r^2 h.
Exemple : un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \pi \times 4^2 \times 10 \\ &= 160\pi \\ &\approx 502{,}7\end{aligned} cm³.
II. Pyramide et cône
Un tiers de la base fois la hauteur
Pyramide (aire de base B, hauteur h) : V = \dfrac{1}{3} \times B \times h.
Cône (rayon r, hauteur h) : V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h.
Exemple : un cône de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 8 \\ &= 24\pi \\ &\approx 75{,}4\end{aligned} cm³.
Cône (rayon r, hauteur h) : V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h.
Exemple : un cône de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 8 \\ &= 24\pi \\ &\approx 75{,}4\end{aligned} cm³.
III. Sphère et boule
Volume de la boule
Sphère / boule (rayon r) : V = \dfrac{4}{3}\pi r^3.
Exemple : une boule de rayon 5 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 \\ &\approx 523{,}6\end{aligned} cm³.
Exemple : une boule de rayon 5 cm a pour volume \begin{aligned}V &= \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 \\ &\approx 523{,}6\end{aligned} cm³.
🎮 Entraîne-toi : le volume d'un solide
La formule est rappelée : remplace les lettres et donne le nombre devant π.
V =
π cm³
IV. Aire d'une sphère
Aire de la sphère
L'aire d'une sphère de rayon r vaut A = 4\pi r^2.
Exemple : une sphère de rayon 3 cm a pour aire \begin{aligned}A &= 4\pi \times 3^2 \\ &= 36\pi \\ &\approx 113{,}1\end{aligned} cm².
Exemple : une sphère de rayon 3 cm a pour aire \begin{aligned}A &= 4\pi \times 3^2 \\ &= 36\pi \\ &\approx 113{,}1\end{aligned} cm².
V. Sections planes d'un pavé et d'un cylindre
La section garde la forme de la face ou de la base
La section d'un pavé droit (ou d'un cube) par un plan parallèle à une face est un rectangle (ou un carré) de mêmes dimensions que cette face. La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque de même rayon ; par un plan contenant l'axe, c'est un rectangle.
Remarque : au brevet, on demande presque toujours la section par un plan parallèle à une face ou parallèle à la base. Les cas obliques (le triangle, l'hexagone, l'ellipse) ne sont pas exigibles : ils sont là pour montrer que le sujet est plus riche que les deux cas du cours.
VI. Sections planes d'un cône et d'une sphère
Disques et cercles
La section d'un cône par un plan parallèle à sa base est un disque (de rayon réduit, proportionnellement à la hauteur restante). La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle (un grand cercle si le plan passe par le centre).
VII. Réduction d'un cône par une section
Une configuration de Thalès
Si un cône de hauteur h et de rayon de base R est coupé par un plan parallèle à la base à une hauteur h' du sommet, le rayon r de la section obtenue vérifie \dfrac{r}{R} = \dfrac{h'}{h} (configuration de Thalès).
Exemple : cône de hauteur 12 cm et rayon de base 5 cm, coupé à 9 cm du sommet : \begin{aligned}r &= 5\times\dfrac{9}{12} \\ &= 3{,}75\end{aligned} cm.
Exemple : cône de hauteur 12 cm et rayon de base 5 cm, coupé à 9 cm du sommet : \begin{aligned}r &= 5\times\dfrac{9}{12} \\ &= 3{,}75\end{aligned} cm.
🎮 Entraîne-toi : le rayon de la section
r = R × h'/h : multiplie le rayon de base par la fraction de hauteur restante.
r =
cm
VIII. Agrandissement et réduction d'un solide
Aires × k², volumes × k³
Si toutes les dimensions d'un solide sont multipliées par k, alors les aires sont multipliées par k^2 et les volumes sont multipliés par k^3.
Exemple : un cube d'arête doublée (k=2) : son volume est multiplié par 2^3=8.
Exemple : un cube d'arête doublée (k=2) : son volume est multiplié par 2^3=8.
🎮 Entraîne-toi : l'effet d'un agrandissement
Aires : multiplie par k². Volumes : multiplie par k³.
IX. Patron d'un solide
Patron
Un patron est une figure plane qui, une fois pliée, permet de reconstituer les faces d'un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents.
X. Résoudre un problème de mélange de solides
Découper, calculer, additionner
Pour un solide composé (par exemple un cylindre surmonté d'une demi-sphère), on calcule le volume total en additionnant les volumes de chaque partie, calculés séparément avec les formules usuelles.
Exemple : un silo formé d'un cylindre (rayon 2 m, hauteur 5 m) surmonté d'une demi-sphère (rayon 2 m) : \begin{aligned}V &= \pi\times2^2\times5 + \dfrac12\times\dfrac43\pi\times2^3 \\ &= 20\pi + \dfrac{16\pi}{3} \\ &\approx 79{,}6\end{aligned} m³.
Exemple : un silo formé d'un cylindre (rayon 2 m, hauteur 5 m) surmonté d'une demi-sphère (rayon 2 m) : \begin{aligned}V &= \pi\times2^2\times5 + \dfrac12\times\dfrac43\pi\times2^3 \\ &= 20\pi + \dfrac{16\pi}{3} \\ &\approx 79{,}6\end{aligned} m³.
XI. Conversions d'unités de volume
Litres et unités cubiques
1\text{ m}^3 = 1000\text{ L} et 1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 : pour convertir un volume calculé en cm³, dm³ ou m³ vers des litres, il faut d'abord ramener toutes les longueurs à la même unité.
🎮 Entraîne-toi : convertir un volume
1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L et 1 L = 1000 cm³.
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ Le tiers oublié
Pyramide et cône se calculent avec \dfrac{1}{3} de la base fois la hauteur : sans le tiers, tu obtiens le volume du prisme ou du cylindre correspondant, trois fois trop grand.
⚠️ Rayon ou diamètre ?
Toutes les formules utilisent le RAYON. Si l'énoncé donne un diamètre de 10 cm, c'est r = 5 cm qu'il faut mettre au carré ou au cube, pas 10.
⚠️ k, k² ou k³ ?
Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k^2 et les volumes par k^3 : un volume n'est jamais multiplié par k.
👆 ▶ À toi : une boule a un rayon de 3 cm. Donne son volume en fonction de π, puis le volume de la boule de rayon double. Vérifie
\begin{aligned}V &= \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 \\ &= \dfrac{4}{3}\pi \times 27 \\ &= \mathbf{36\pi}\end{aligned} cm³.
Rayon doublé (k = 2) : le volume est multiplié par 2^3 = 8, donc \begin{aligned}V' &= 36\pi \times 8 \\ &= \mathbf{288\pi}\end{aligned} cm³.
Rayon doublé (k = 2) : le volume est multiplié par 2^3 = 8, donc \begin{aligned}V' &= 36\pi \times 8 \\ &= \mathbf{288\pi}\end{aligned} cm³.