Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Espace
12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Volume d'un cône⭐
Un cône a un rayon de base 3 cm et une hauteur de 8 cm. On prendra {\pi \approx 3{,}14}.
- Rappeler la formule du volume d'un cône.
- Calculer l'aire de la base.
- Calculer le volume du cône.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}.
b) Aire de la base {= \pi \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 = \mathbf{28{,}26}} cm^2.
c) \begin{aligned}V &= \dfrac{28{,}26 \times 8}{3} \\ &= \dfrac{226{,}08}{3} \\ &= \mathbf{75{,}36}\end{aligned} cm^3.
b) Aire de la base {= \pi \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 = \mathbf{28{,}26}} cm^2.
c) \begin{aligned}V &= \dfrac{28{,}26 \times 8}{3} \\ &= \dfrac{226{,}08}{3} \\ &= \mathbf{75{,}36}\end{aligned} cm^3.
Exercice 2 : Agrandissement / réduction et volumes⭐
Une réduction de rapport k=\dfrac13 est appliquée à une pyramide de volume 270 cm^3.
- Rappeler comment se transforment les volumes lors d'une réduction de rapport k.
- Calculer k^3.
- En déduire le volume de la pyramide réduite.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) Les volumes sont multipliés par k^3 (le cube du rapport).
b) \begin{aligned}k^3 &= \left(\dfrac13\right)^3 \\ &= \dfrac{1}{27}\end{aligned}
c) Volume réduit = 270 \times \dfrac{1}{27} = \mathbf{10} cm^3.
b) \begin{aligned}k^3 &= \left(\dfrac13\right)^3 \\ &= \dfrac{1}{27}\end{aligned}
c) Volume réduit = 270 \times \dfrac{1}{27} = \mathbf{10} cm^3.
Exercice 3 : Volume d'une sphère⭐
Une boule a un rayon de 6 cm. On prendra {\pi \approx 3{,}14}.
- Rappeler la formule du volume d'une boule.
- Calculer ce volume (arrondir au cm^3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) V = \dfrac43 \pi r^3.
b) \begin{aligned}V &= \dfrac43\times3{,}14\times6^3 \\ &= \dfrac43\times3{,}14\times216 \\ &\approx \mathbf{904{,}3}\end{aligned} cm^3.
b) \begin{aligned}V &= \dfrac43\times3{,}14\times6^3 \\ &= \dfrac43\times3{,}14\times216 \\ &\approx \mathbf{904{,}3}\end{aligned} cm^3.
Exercice 4 : Aire d'une sphère⭐
Une sphère a un rayon de 4 cm. On prendra \pi\approx3{,}14.
- Rappeler la formule de l'aire d'une sphère.
- Calculer cette aire.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) A = 4\pi r^2.
b) \begin{aligned}A &= 4\times3{,}14\times16 \\ &\approx \mathbf{200{,}96}\end{aligned} cm^2.
b) \begin{aligned}A &= 4\times3{,}14\times16 \\ &\approx \mathbf{200{,}96}\end{aligned} cm^2.
Le cœur du chapitre
Exercice 5 : Volume d'un pavé droit et conversion⭐
Un aquarium a pour dimensions 80 cm \times 40 cm \times 50 cm.
- Calculer son volume en cm^3.
- Convertir ce volume en litres ({1\text{ L} = 1000\text{ cm}^3}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) \begin{aligned}V &= 80\times40\times50 \\ &= \mathbf{160\,000}\end{aligned} cm^3.
b) 160\,000 : 1000 = \mathbf{160} L.
b) 160\,000 : 1000 = \mathbf{160} L.
Exercice 6 : Section d'un cylindre⭐⭐
Un cylindre a pour rayon 5 cm.
- Quelle est la nature de la section par un plan parallèle à la base ?
- Quelle est l'aire de cette section ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) C'est un disque de même rayon que la base.
b) \begin{aligned}A &= \pi\times5^2 \\ &\approx \mathbf{78{,}5}\end{aligned} cm^2.
b) \begin{aligned}A &= \pi\times5^2 \\ &\approx \mathbf{78{,}5}\end{aligned} cm^2.
Exercice 7 : Réduction d'un cône⭐⭐
Un cône de hauteur 15 cm et de rayon de base 6 cm est coupé par un plan parallèle à la base, à 10 cm du sommet.
- Écrire l'égalité de Thalès pour le rayon r de la section.
- Calculer r.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) \dfrac{r}{6} = \dfrac{10}{15}.
b) \begin{aligned}r &= \dfrac{10\times6}{15} \\ &= \mathbf4\end{aligned} cm.
b) \begin{aligned}r &= \dfrac{10\times6}{15} \\ &= \mathbf4\end{aligned} cm.
Exercice 8 : Agrandissement d'un solide⭐⭐
Un cube d'arête 3 cm est agrandi avec un rapport k=4.
- Calculer le volume du cube initial.
- Calculer le volume du cube agrandi (par k^3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) \begin{aligned}V &= 3^3 \\ &= \mathbf{27}\end{aligned} cm^3.
b) \begin{aligned}V' &= 27\times4^3 \\ &= 27\times64 \\ &= \mathbf{1728}\end{aligned} cm^3.
b) \begin{aligned}V' &= 27\times4^3 \\ &= 27\times64 \\ &= \mathbf{1728}\end{aligned} cm^3.
Exercice 9 : Problème de mélange de solides⭐⭐
Un silo est formé d'un cylindre (rayon 2 m, hauteur 6 m) surmonté d'un cône (même rayon, hauteur 3 m). On prendra \pi\approx3{,}14.
- Calculer le volume du cylindre.
- Calculer le volume du cône.
- En déduire le volume total du silo.
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) \begin{aligned}V_{\text{cyl}} &= \pi\times2^2\times6 \\ &\approx 3{,}14\times24 \\ &\approx \mathbf{75{,}4}\end{aligned} m^3.
b) \begin{aligned}V_{\text{cône}} &= \dfrac13\pi\times2^2\times3 \\ &\approx \dfrac13\times3{,}14\times12 \\ &\approx \mathbf{12{,}6}\end{aligned} m^3.
c) \begin{aligned}V_{\text{total}} &\approx 75{,}4+12{,}6 \\ &= \mathbf{88}\end{aligned} m^3.
b) \begin{aligned}V_{\text{cône}} &= \dfrac13\pi\times2^2\times3 \\ &\approx \dfrac13\times3{,}14\times12 \\ &\approx \mathbf{12{,}6}\end{aligned} m^3.
c) \begin{aligned}V_{\text{total}} &\approx 75{,}4+12{,}6 \\ &= \mathbf{88}\end{aligned} m^3.
Exercice 10 : Patron d'un solide⭐
- Combien de faces possède le patron d'un cube ?
- Un même solide peut-il avoir plusieurs patrons différents ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) 6 faces (carrées).
b) Oui, un cube possède par exemple 11 patrons différents possibles.
b) Oui, un cube possède par exemple 11 patrons différents possibles.
Pour aller plus loin
Exercice 11 : Comparer deux volumes⭐⭐⭐
Un premier cône a un rayon r et une hauteur h. Un second cône a un rayon 2r et la même hauteur h.
- Exprimer le volume V_1 du premier cône en fonction de r et h.
- Exprimer le volume V_2 du second cône.
- Calculer le rapport \dfrac{V_2}{V_1}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) V_1 = \dfrac13\pi r^2h.
b) \begin{aligned}V_2 &= \dfrac13\pi(2r)^2h \\ &= \dfrac13\pi\times4r^2h\end{aligned}
c) \dfrac{V_2}{V_1} = \mathbf4 (le rayon a été multiplié par 2, le volume par 2^2=4 car la hauteur reste la même, ce n'est pas un agrandissement complet).
b) \begin{aligned}V_2 &= \dfrac13\pi(2r)^2h \\ &= \dfrac13\pi\times4r^2h\end{aligned}
c) \dfrac{V_2}{V_1} = \mathbf4 (le rayon a été multiplié par 2, le volume par 2^2=4 car la hauteur reste la même, ce n'est pas un agrandissement complet).
Exercice 12 : Problème complet⭐⭐⭐
Une pyramide régulière à base carrée a une base de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm.
- Calculer l'aire de la base.
- Calculer le volume de la pyramide.
- Si on réduit cette pyramide avec un rapport k=0{,}5, calculer le volume de la pyramide réduite.
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) \begin{aligned}B &= 6^2 \\ &= \mathbf{36}\end{aligned} cm^2.
b) \begin{aligned}V &= \dfrac13\times36\times10 \\ &= \mathbf{120}\end{aligned} cm^3.
c) \begin{aligned}V' &= 120\times0{,}5^3 \\ &= 120\times0{,}125 \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} cm^3.
b) \begin{aligned}V &= \dfrac13\times36\times10 \\ &= \mathbf{120}\end{aligned} cm^3.
c) \begin{aligned}V' &= 120\times0{,}5^3 \\ &= 120\times0{,}125 \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} cm^3.