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Fiche d'exercices Logimaths | Troisième

Fiche d'exercices : PGCD et PPCM

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Décomposer en facteurs premiers⭐ Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers (divise par 2 tant que possible, puis par 3, puis par 5…) :
  1. 60
  2. 84
  3. 90
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5, donc 60 = 2^2 \times 3 \times 5.
2. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7, donc 84 = 2^2 \times 3 \times 7.
3. 90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5, donc 90 = 2 \times 3^2 \times 5.
Exercice 2 : Lister tous les diviseurs⭐ On donne les décompositions 20 = {2^2 \times 5} et 45 = 3^2 \times 5.
  1. En croisant les puissances de 2 (2^0,\ 2^1,\ 2^2) avec celles de 5 (5^0,\ 5^1), dresse la liste de tous les diviseurs de 20.
  2. Fais de même pour dresser la liste de tous les diviseurs de 45.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Les six produits croisés donnent : 1 ; 5 ; 2 ; 10 ; 4 ; 20. Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. On croise 3^0,\ 3^1,\ 3^2 avec 5^0,\ 5^1 : 1 ; 5 ; 3 ; 15 ; 9 ; 45. Diviseurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Le PGCD par les diviseurs communs⭐⭐ En listant les diviseurs de chaque nombre puis en entourant les diviseurs communs, détermine :
  1. PGCD(18 ; 30)
  2. PGCD(28 ; 42)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6, donc PGCD(18 ; 30) = 6.
2. Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28. Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Diviseurs communs : 1, 2, 7, 14, donc PGCD(28 ; 42) = 14.
Exercice 4 : PGCD et PPCM par la décomposition⭐⭐
  1. Décompose 72 et 120 en produits de facteurs premiers.
  2. Déduis-en PGCD(72 ; 120) (facteurs communs, plus petite puissance).
  3. Déduis-en PPCM(72 ; 120) (tous les facteurs, plus grande puissance).
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 72 = 2^3 \times 3^2 et 120 = 2^3 \times 3 \times 5.
2. Facteurs communs : 2 (puissances 3 et 3) et 3 (puissances 2 et 1, on garde la plus petite) : PGCD = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24.
3. Tous les facteurs (2, 3, 5) avec la plus grande puissance : PPCM = {2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5} = 360.
Contrôle : 24 divise bien 72 et 120 ; 360 = 5 × 72 = 3 × 120.
Exercice 5 : Grands nombres déjà décomposés⭐⭐ Soit A = 2^4 \times 3^2 \times 5 et B = 2^2 \times 3^5 \times 7.
  1. Quels sont les facteurs premiers communs à A et B ?
  2. Donne le PGCD de A et B, puis calcule-le.
  3. Donne le PPCM de A et B sous forme décomposée (sans le calculer).
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Les facteurs communs sont 2 (puissances 4 et 2) et 3 (puissances 2 et 5). Les facteurs 5 et 7 n'apparaissent que d'un seul côté.
2. Plus petite puissance de chaque facteur commun : PGCD = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36.
3. Tous les facteurs avec la plus grande puissance : PPCM = 2^4 \times 3^5 \times 5 \times 7.
Exercice 6 : Le carrelage sans découpe⭐⭐ Une terrasse rectangulaire mesure 240 cm sur 180 cm. On veut la recouvrir entièrement de dalles carrées, toutes identiques, sans aucune découpe, en choisissant les dalles les plus grandes possibles.
  1. Explique pourquoi le côté des dalles doit être un diviseur commun de 240 et de 180.
  2. Détermine le côté des dalles.
  3. Combien de dalles faudra-t-il ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Les dalles doivent remplir exactement la longueur ET la largeur sans découpe : leur côté divise 240 et divise 180.
2. Le plus grand côté possible est le PGCD. 240 = 2^4 \times 3 \times 5 et 180 = {2^2 \times 3^2 \times 5} : PGCD = 2^2 \times 3 \times 5 = 60. Les dalles mesurent 60 cm de côté.
3. 240 : 60 = 4 dalles en longueur et 180 : 60 = 3 dalles en largeur : 4 × 3 = 12 dalles.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Les bouquets du fleuriste⭐⭐⭐ Un fleuriste dispose de 84 roses et de 60 tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chacun) en utilisant TOUTES ses fleurs.
  1. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ?
  2. Donne alors la composition d'un bouquet.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 60 : on cherche PGCD(84 ; 60). 84 = 2^2 \times 3 \times 7 et 60 = 2^2 \times 3 \times 5 : PGCD = 2^2 \times 3 = 12 bouquets.
2. 84 : 12 = 7 et 60 : 12 = 5 : chaque bouquet contient 7 roses et 5 tulipes.
Exercice 8 : Les bus qui repartent ensemble⭐⭐⭐ À l'arrêt « Collège », le bus A part toutes les 12 minutes et le bus B toutes les 18 minutes. Ils viennent de partir ensemble à 7 h 00.
  1. Dans combien de minutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
  2. À quelles heures repartent-ils ensemble entre 7 h 00 et 10 h 00 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Les instants de départ communs sont les multiples communs de 12 et de 18 : le premier est le PPCM. 12 = 2^2 \times 3 et 18 = 2 \times 3^2 : PPCM = 2^2 \times 3^2 = 36 minutes.
2. Un départ commun toutes les 36 minutes à partir de 7 h 00 : 7 h 36, 8 h 12, 8 h 48, 9 h 24 et 10 h 00.
📘 La fiche de cours du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre