Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Probabilités
12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Roue de loterie⭐
Une roue de loterie comporte 10 secteurs identiques : 5 rouges, 3 verts et 2 jaunes.
- Quelle est la probabilité de tomber sur un secteur rouge ?
- Quelle est la probabilité de tomber sur un secteur jaune ?
- Quelle est la probabilité de tomber sur un secteur rouge ou vert ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \begin{aligned}P(\text{rouge}) &= \dfrac{5}{10} \\ &= \mathbf{\dfrac12}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{jaune}) &= \dfrac{2}{10} \\ &= \mathbf{\dfrac15}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{rouge ou vert}) &= \dfrac{5+3}{10} \\ &= \dfrac{8}{10} \\ &= \mathbf{\dfrac45}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{jaune}) &= \dfrac{2}{10} \\ &= \mathbf{\dfrac15}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{rouge ou vert}) &= \dfrac{5+3}{10} \\ &= \dfrac{8}{10} \\ &= \mathbf{\dfrac45}\end{aligned}
Exercice 2 : Événement contraire⭐
On lance un dé équilibré à 6 faces.
- Calculer P(\text{obtenir un 6}).
- En déduire P(\text{ne pas obtenir un 6}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. P(\text{6}) = \dfrac16.
2. \begin{aligned}P(\overline{\text{6}}) &= 1-\dfrac16 \\ &= \mathbf{\dfrac56}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\overline{\text{6}}) &= 1-\dfrac16 \\ &= \mathbf{\dfrac56}\end{aligned}
Exercice 3 : Probabilité et effectifs⭐
Une classe de 28 élèves compte 16 filles.
- Quelle est la probabilité de tirer au hasard une fille ?
- Quelle est la probabilité de tirer un garçon ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}P(\text{fille}) &= \dfrac{16}{28} \\ &= \mathbf{\dfrac47}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{garçon}) &= 1-\dfrac47 \\ &= \mathbf{\dfrac37}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{garçon}) &= 1-\dfrac47 \\ &= \mathbf{\dfrac37}\end{aligned}
Exercice 4 : Jeu de cartes⭐
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs de 8 cartes chacune).
- Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
- Quelle est la probabilité de tirer un roi (il y a 4 rois dans le jeu) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}P(\text{cœur}) &= \dfrac{8}{32} \\ &= \mathbf{\dfrac14}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{roi}) &= \dfrac{4}{32} \\ &= \mathbf{\dfrac18}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{roi}) &= \dfrac{4}{32} \\ &= \mathbf{\dfrac18}\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 5 : Événements incompatibles⭐⭐
On lance un dé à 6 faces.
- Les événements « obtenir un 1 » et « obtenir un nombre pair » sont-ils incompatibles ?
- En déduire P(\text{obtenir 1 ou un nombre pair}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Oui, aucune issue commune : ils sont incompatibles.
2. \begin{aligned}P &= P(1)+P(\text{pair}) \\ &= \dfrac16+\dfrac36 \\ &= \mathbf{\dfrac46=\dfrac23}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P &= P(1)+P(\text{pair}) \\ &= \dfrac16+\dfrac36 \\ &= \mathbf{\dfrac46=\dfrac23}\end{aligned}
Exercice 6 : Deux dés (tableau à double entrée)⭐⭐
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on additionne les résultats.
- Combien y a-t-il d'issues possibles au total ?
- Combien de façons obtient-on une somme égale à 7 ? En déduire P(\text{somme}=7).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. 6\times6=\mathbf{36} issues possibles.
2. 6 façons (1{+}6,2{+}5,3{+}4,4{+}3,5{+}2,6{+}1) : \begin{aligned}P &= \dfrac{6}{36} \\ &= \mathbf{\dfrac16}\end{aligned}
2. 6 façons (1{+}6,2{+}5,3{+}4,4{+}3,5{+}2,6{+}1) : \begin{aligned}P &= \dfrac{6}{36} \\ &= \mathbf{\dfrac16}\end{aligned}
Exercice 7 : Arbre de probabilités⭐⭐
On lance deux fois une pièce équilibrée (Pile ou Face).
- Représenter (décrire) l'arbre des issues possibles.
- Calculer P(\text{Pile puis Pile}).
- Calculer P(\text{obtenir exactement une fois Pile}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Quatre issues : PP, PF, FP, FF, chacune de probabilité \dfrac14.
2. \begin{aligned}P(\text{PP}) &= \dfrac12\times\dfrac12 \\ &= \mathbf{\dfrac14}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{PF ou FP}) &= \dfrac14+\dfrac14 \\ &= \mathbf{\dfrac12}\end{aligned}
2. \begin{aligned}P(\text{PP}) &= \dfrac12\times\dfrac12 \\ &= \mathbf{\dfrac14}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{PF ou FP}) &= \dfrac14+\dfrac14 \\ &= \mathbf{\dfrac12}\end{aligned}
Exercice 8 : Roue à secteurs inégaux⭐⭐
Une roue comporte 4 secteurs : un secteur rouge de probabilité 0{,}4, un secteur bleu de probabilité 0{,}3, un secteur vert et un secteur jaune de probabilités égales.
- Calculer la somme des probabilités connues (rouge + bleu).
- En déduire la probabilité de chacun des secteurs vert et jaune.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 0{,}4+0{,}3=0{,}7.
2. Il reste 1-0{,}7=0{,}3 à répartir également : \begin{aligned}P(\text{vert}) &= P(\text{jaune}) \\ &= \mathbf{0{,}15}\end{aligned}
2. Il reste 1-0{,}7=0{,}3 à répartir également : \begin{aligned}P(\text{vert}) &= P(\text{jaune}) \\ &= \mathbf{0{,}15}\end{aligned}
Exercice 9 : Simulation et fréquence⭐⭐
Un dé a été lancé 200 fois : le nombre 6 est apparu 34 fois.
- Calculer la fréquence d'apparition du 6 dans cette expérience.
- Comparer cette fréquence à la probabilité théorique \dfrac16. Est-ce cohérent ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
1. \begin{aligned}f &= \dfrac{34}{200} \\ &= 0{,}17\end{aligned}
2. \dfrac16\approx0{,}167 : la fréquence observée est très proche de la probabilité théorique, c'est cohérent (loi des grands nombres).
2. \dfrac16\approx0{,}167 : la fréquence observée est très proche de la probabilité théorique, c'est cohérent (loi des grands nombres).
Pour aller plus loin
Exercice 10 : Tirage avec remise⭐⭐⭐
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule.
- Calculer P(\text{rouge au premier tirage}).
- Les deux tirages sont-ils indépendants ? Pourquoi ?
- Calculer P(\text{rouge puis rouge}).
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
1. \begin{aligned}P(\text{rouge}) &= \dfrac{4}{10} \\ &= \mathbf{0{,}4}\end{aligned}
2. Oui, car la boule est remise : la composition de l'urne ne change pas entre les deux tirages.
3. \begin{aligned}P(\text{RR}) &= 0{,}4\times0{,}4 \\ &= \mathbf{0{,}16}\end{aligned}
2. Oui, car la boule est remise : la composition de l'urne ne change pas entre les deux tirages.
3. \begin{aligned}P(\text{RR}) &= 0{,}4\times0{,}4 \\ &= \mathbf{0{,}16}\end{aligned}
Exercice 11 : Tirages successifs sans remise⭐⭐⭐
Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On tire successivement 2 boules, sans remise.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au premier tirage ?
- Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la seconde le soit aussi ?
- En déduire la probabilité de tirer deux boules blanches (utiliser un arbre pondéré).
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
1. P(\text{blanche au 1er tirage}) = \dfrac35.
2. Après un premier tirage blanc, il reste 2 blanches et 2 noires (4 boules) : \begin{aligned}P &= \dfrac24 \\ &= \mathbf{\dfrac12}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{deux blanches}) &= \dfrac35 \times \dfrac12 \\ &= \mathbf{\dfrac{3}{10}}\end{aligned}
2. Après un premier tirage blanc, il reste 2 blanches et 2 noires (4 boules) : \begin{aligned}P &= \dfrac24 \\ &= \mathbf{\dfrac12}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P(\text{deux blanches}) &= \dfrac35 \times \dfrac12 \\ &= \mathbf{\dfrac{3}{10}}\end{aligned}
Exercice 12 : Problème avec un jeu⭐⭐⭐
Un jeu consiste à tirer une carte parmi 20 cartes numérotées de 1 à 20. On gagne si le numéro est un multiple de 3.
- Lister les multiples de 3 entre 1 et 20.
- Calculer la probabilité de gagner.
- Ce jeu est-il favorable ou défavorable au joueur (comparer à 0{,}5) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
1. 3,6,9,12,15,18 : soit 6 multiples.
2. \begin{aligned}P(\text{gagner}) &= \dfrac{6}{20} \\ &= \mathbf{0{,}3}\end{aligned}
3. 0{,}3 < 0{,}5 : le jeu est défavorable au joueur.
2. \begin{aligned}P(\text{gagner}) &= \dfrac{6}{20} \\ &= \mathbf{0{,}3}\end{aligned}
3. 0{,}3 < 0{,}5 : le jeu est défavorable au joueur.