Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Probabilités
Vocabulaire, calcul de probabilités et événement contraire
I. Vocabulaire
Expérience aléatoire, issue, univers, événement
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat. Chaque résultat possible est une issue. L'ensemble de toutes les issues est l'univers. Un événement est un ensemble d'issues.
Exemple : on lance un dé à 6 faces. L'univers est \{1;2;3;4;5;6\}. L'événement « obtenir un nombre pair » correspond aux issues \{2;4;6\}.
Exemple : on lance un dé à 6 faces. L'univers est \{1;2;3;4;5;6\}. L'événement « obtenir un nombre pair » correspond aux issues \{2;4;6\}.
II. Calculer une probabilité (équiprobabilité)
Propriété : cas favorables sur cas possibles
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire : P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.
Exemple : \begin{aligned}P(\text{obtenir un nombre pair}) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}P(\text{obtenir un nombre pair}) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : la probabilité d'un événement
Donne la fraction NON simplifiée : cas favorables en haut, cas possibles en bas.
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III. Propriétés générales
Propriété : entre 0 et 1
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : {0 \leqslant P(A) \leqslant 1} L'événement certain a une probabilité de 1, l'événement impossible a une probabilité de 0. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
IV. Événement contraire
Théorème
P(\bar{A}) = 1 - P(A), où \bar{A} (« non A ») est l'événement contraire de A.
Exemple : \begin{aligned}P(\text{ne pas obtenir 6}) &= 1 - \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{5}{6}\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}P(\text{ne pas obtenir 6}) &= 1 - \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{5}{6}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : l'événement contraire
P(contraire) = 1 moins P. Réponds en écriture décimale (avec une virgule).
V. Événements incompatibles
Définition
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps (aucune issue commune).
Exemple : « obtenir un 1 » et « obtenir un nombre pair » sont incompatibles sur un dé.
Exemple : « obtenir un 1 » et « obtenir un nombre pair » sont incompatibles sur un dé.
VI. Expérience à deux épreuves (tableau)
Le tableau à double entrée
Pour une expérience à deux épreuves (par exemple deux lancers de dé), on peut construire un tableau à double entrée listant toutes les issues possibles, puis compter celles qui sont favorables à l'événement étudié.
Exemple : pour deux dés, il y a {6\times 6=36} issues possibles.
Exemple : pour deux dés, il y a {6\times 6=36} issues possibles.
VII. Arbre de probabilités
L'arbre pondéré : on multiplie le long du chemin
Un arbre pondéré permet de représenter une expérience à plusieurs épreuves. Sur chaque branche, on indique la probabilité de l'issue correspondante ; le produit des probabilités le long d'un chemin donne la probabilité de la suite d'événements.
Exemple : pour deux lancers d'une pièce équilibrée, \begin{aligned}P(\text{Pile puis Pile}) &= \dfrac12\times\dfrac12 \\ &= \dfrac14\end{aligned}
Exemple : pour deux lancers d'une pièce équilibrée, \begin{aligned}P(\text{Pile puis Pile}) &= \dfrac12\times\dfrac12 \\ &= \dfrac14\end{aligned}
Arbre pondéré pour deux lancers d'une pièce équilibrée : sur chaque chemin, on multiplie les probabilités des branches : \begin{aligned}P(\text{Pile};\text{Pile}) &= \dfrac12\times\dfrac12 \\ &= \dfrac14\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : le produit le long du chemin
Multiplie les deux fractions : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
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VIII. Simulation et fréquence
La loi des grands nombres (admise en 3e)
En répétant une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.
🎮 Entraîne-toi : fréquence ou probabilité ?
Observé après expérience, ou théorique et connu à l'avance ?
IX. Probabilité et effectifs dans un tableau
Effectif favorable sur effectif total
Lorsque les données sont présentées dans un tableau d'effectifs, on calcule une probabilité comme le quotient de l'effectif favorable par l'effectif total.
Exemple : dans une classe de 25 élèves dont 15 filles, \begin{aligned}P(\text{tirer une fille au hasard}) &= \dfrac{15}{25} \\ &= \dfrac35\end{aligned}
Exemple : dans une classe de 25 élèves dont 15 filles, \begin{aligned}P(\text{tirer une fille au hasard}) &= \dfrac{15}{25} \\ &= \dfrac35\end{aligned}
X. Union de deux événements
Propriété : événements incompatibles
Pour deux événements A et B incompatibles, {P(A \text{ ou } B) = P(A)+P(B)}.
Exemple : sur un dé, \begin{aligned}P(\text{obtenir 1 ou 2}) &= \dfrac16+\dfrac16 \\ &= \dfrac13\end{aligned}
Exemple : sur un dé, \begin{aligned}P(\text{obtenir 1 ou 2}) &= \dfrac16+\dfrac16 \\ &= \dfrac13\end{aligned}
XI. Les pièges du chapitre
⚠️ « Au hasard » ne veut pas dire équiprobable
Ne pas confondre : deux issues ne sont pas toujours équiprobables. Ce n'est vrai que si l'expérience le garantit explicitement (dé équilibré, pièce non truquée...).
⚠️ La somme des probabilités vaut 1
La somme des probabilités des issues d'un même univers vaut toujours 1, jamais plus.
👆 ▶ À toi : un sac contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. Donne P(rouge), puis la probabilité de ne PAS tirer une rouge. Vérifie
5 boules en tout, 2 rouges : P(\text{rouge}) = \dfrac25.
Événement contraire : 1 - \dfrac25 = \dfrac35 (c'est aussi P(\text{verte}), et \dfrac25 + \dfrac35 = 1).
Événement contraire : 1 - \dfrac25 = \dfrac35 (c'est aussi P(\text{verte}), et \dfrac25 + \dfrac35 = 1).