Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Transformations
12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Homothétie de rapport positif⭐
Une homothétie de centre O et de rapport k=2 transforme A en A' et B en B'.
- Que peut-on dire de la droite (A'B') par rapport à (AB) ?
- Si AB=4 cm, calculer A'B'.
- Si l'aire du triangle OAB est 6 cm^2, quelle est l'aire du triangle OA'B' ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) (A'B') est parallèle à (AB) (propriété de l'homothétie).
b) \begin{aligned}A'B' &= k \times AB \\ &= 2\times4 \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
c) Les aires sont multipliées par k^2=4 : aire = 6\times4 = \mathbf{24} cm^2.
b) \begin{aligned}A'B' &= k \times AB \\ &= 2\times4 \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
c) Les aires sont multipliées par k^2=4 : aire = 6\times4 = \mathbf{24} cm^2.
Exercice 2 : Reconnaître une transformation⭐
Un triangle A'B'C' est l'image d'un triangle ABC par une transformation ; on observe que A'B'C' a les mêmes longueurs de côtés que ABC mais une orientation inversée.
- Une translation peut-elle produire ce résultat ?
- Quelle transformation usuelle inverse l'orientation tout en conservant les longueurs ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) Non, une translation conserve l'orientation.
b) Une symétrie axiale (elle conserve les longueurs mais inverse l'orientation).
b) Une symétrie axiale (elle conserve les longueurs mais inverse l'orientation).
Exercice 3 : Construire l'image par une rotation (description)⭐
Une rotation de centre O et d'angle 90^{\circ} (sens antihoraire) transforme M en M'.
- Que vaut la distance OM' par rapport à OM ?
- Que vaut l'angle \widehat{MOM'} ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) OM' = OM (la rotation conserve les distances au centre).
b) \widehat{MOM'} = \mathbf{90^{\circ}}.
b) \widehat{MOM'} = \mathbf{90^{\circ}}.
Exercice 4 : Symétrie centrale comme rotation particulière⭐
- Quel est l'angle d'une symétrie centrale, vue comme une rotation ?
- Une rotation de centre O et d'angle 180^{\circ} est-elle une symétrie centrale de centre O ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) L'angle est \mathbf{180^{\circ}}.
b) Oui, c'est exactement la même transformation.
b) Oui, c'est exactement la même transformation.
Le cœur du chapitre
Exercice 5 : Homothétie de rapport négatif⭐⭐
Une homothétie de centre O et de rapport k=-\dfrac12 transforme un triangle d'aire 20 cm^2 en un autre triangle.
- Quel est le rapport entre les longueurs des deux triangles (en valeur absolue) ?
- Quelle est l'aire du triangle image ?
- Que signifie un rapport négatif pour la position de l'image par rapport à O ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) Rapport des longueurs = |k| = \mathbf{\dfrac12}.
b) Aire de l'image = 20 \times k^2 = 20\times\dfrac14 = \mathbf{5} cm^2.
c) Un rapport négatif signifie que l'image est symétrique par rapport à O (de l'autre côté du centre par rapport à la figure de départ).
b) Aire de l'image = 20 \times k^2 = 20\times\dfrac14 = \mathbf{5} cm^2.
c) Un rapport négatif signifie que l'image est symétrique par rapport à O (de l'autre côté du centre par rapport à la figure de départ).
Exercice 6 : Homothétie et image d'un cercle⭐⭐
Un cercle de rayon 4 cm subit une homothétie de rapport k=3.
- Quel est le rayon du cercle image ?
- Le centre du cercle image est-il l'image du centre initial ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) Rayon image = 4\times3 = \mathbf{12} cm.
b) Oui, l'image du centre d'un cercle par une homothétie est le centre du cercle image.
b) Oui, l'image du centre d'un cercle par une homothétie est le centre du cercle image.
Exercice 7 : Composer une translation et une homothétie (description)⭐⭐
Un point M subit d'abord une translation de vecteur \vec u, puis une homothétie de centre O et de rapport 2.
- Cette transformation composée conserve-t-elle les angles ?
- Un segment de longueur 5 cm devient-il plus long ou plus court après ces deux transformations ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) Oui : la translation conserve les longueurs et les angles, et l'homothétie conserve les angles.
b) La translation ne change pas la longueur, mais l'homothétie de rapport 2 la double : le segment final mesure \mathbf{10} cm.
b) La translation ne change pas la longueur, mais l'homothétie de rapport 2 la double : le segment final mesure \mathbf{10} cm.
Exercice 8 : Aire et homothétie⭐⭐
Une figure d'aire 8 cm^2 subit une homothétie de rapport k=-3.
- Calculer k^2.
- En déduire l'aire de la figure image.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) \begin{aligned}k^2 &= (-3)^2 \\ &= \mathbf9\end{aligned}
b) Aire image = 8\times9 = \mathbf{72} cm^2 (l'aire est toujours positive, même avec k négatif).
b) Aire image = 8\times9 = \mathbf{72} cm^2 (l'aire est toujours positive, même avec k négatif).
Exercice 9 : Identifier le rapport d'une homothétie⭐⭐
Un point A(2\,;3) a pour image A'(6\,;9) par une homothétie de centre O origine du repère et de rapport k.
- Calculer k (comparer les coordonnées de A et A').
- Vérifier avec un second point si B(1\,;-1) a pour image B'(3\,;-3).
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) A' = k\times A (coordonnée par coordonnée) : \begin{aligned}6 &= k\times2 \\ &\Rightarrow k = \mathbf3\end{aligned} (et 9=3\times3 \checkmark cohérent).
b) 3\times1=3 et 3\times(-1)=-3 : B'(3\,;-3) correspond bien à k=3.
b) 3\times1=3 et 3\times(-1)=-3 : B'(3\,;-3) correspond bien à k=3.
Pour aller plus loin
Exercice 10 : Homothétie de rapport k = 1⭐⭐
- Que devient une figure par une homothétie de rapport k=1 ?
- Cela correspond-il à une transformation déjà connue ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) La figure reste identique (image confondue avec la figure de départ).
b) Oui, c'est l'identité (transformation qui laisse tout point invariant).
b) Oui, c'est l'identité (transformation qui laisse tout point invariant).
Exercice 11 : Problème de construction (description)⭐⭐⭐
On veut construire l'image d'un triangle ABC par une homothétie de centre A et de rapport \dfrac12.
- Où se trouve l'image de A ?
- Où se trouvent les images de B et C (par rapport aux segments [AB] et [AC]) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) L'image de A est A lui-même (le centre est toujours invariant).
b) B' est le milieu de [AB] et C' est le milieu de [AC] (rapport \dfrac12).
b) B' est le milieu de [AB] et C' est le milieu de [AC] (rapport \dfrac12).
Exercice 12 : Problème complet⭐⭐⭐
Un logo est agrandi par une homothétie de rapport k=4 pour une affiche. Le logo original a une aire de 12 cm^2 et un périmètre de 18 cm.
- Calculer le périmètre de l'agrandissement.
- Calculer l'aire de l'agrandissement.
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) Le périmètre (longueur) est multiplié par k : 18\times4=\mathbf{72} cm.
b) L'aire est multipliée par k^2=16 : {12\times16=\mathbf{192}} cm^2.
b) L'aire est multipliée par k^2=16 : {12\times16=\mathbf{192}} cm^2.