Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Transformations
Rotation, homothétie et propriétés conservées
I. Symétrie axiale (rappel)
Définition
La symétrie axiale transforme une figure en son image miroir par rapport à une droite (axe). Chaque point et son image sont situés à égale distance de l'axe, sur une perpendiculaire à celui-ci.
II. Symétrie centrale (rappel)
Définition
La symétrie centrale transforme une figure en son image par un demi-tour autour d'un point (centre). Le centre est le milieu de chaque segment reliant un point à son image.
III. Translation (rappel)
Définition
La translation déplace une figure selon un vecteur, sans la tourner ni la déformer : tous les points se déplacent de la même façon (même direction, même sens, même longueur).
🎮 Entraîne-toi : l'image d'un point par une translation
Sur le quadrillage, le déplacement de A vers B est le même que celui de M vers M'.
M' (
;
)
IV. La rotation
Définition
Une rotation de centre O et d'angle \theta transforme un point M en un point M' tel que OM = OM' et l'angle {\widehat{MOM'} = \theta} (dans un sens donné, horaire ou antihoraire).
Remarque : La symétrie centrale est une rotation particulière, d'angle 180^{\circ}.
V. Construire l'image par une rotation
Méthode
Pour construire l'image M' d'un point M par une rotation de centre O et d'angle \theta : tracer le cercle de centre O passant par M, puis reporter l'angle \theta à partir du rayon [OM] dans le sens indiqué.
VI. L'homothétie
Définition
Une homothétie de centre O et de rapport k (k \neq 0) transforme un point M en le point M' de la droite (OM) tel que OM' = |k| \times OM, situé du même côté de O que M si k>0, du côté opposé si k<0.
Remarque : Si k > 1, la figure est agrandie ; si {0 < k < 1}, elle est réduite ; si k < 0, elle est en plus retournée (symétrique par rapport à O).
VII. Construire l'image par une homothétie
Méthode
Pour construire l'image M' d'un point M par une homothétie de centre O et de rapport k : placer M' sur la droite (OM) tel que OM' = |k| \times OM, du même côté de O que M si k>0, du côté opposé si k<0.
angle :
rapport k :
| [AB] | [BC] | angle en A | aire | |
|---|---|---|---|---|
| figure de départ | ||||
| son image |
VIII. Propriétés conservées par chaque transformation
Propriété
Symétrie, translation et rotation conservent les longueurs et les angles. L'homothétie de rapport k conserve les angles mais multiplie les longueurs par |k| (et les aires par k^2).
🎮 Entraîne-toi : homothétie et longueurs
Les longueurs sont multipliées par |k|.
🎮 Entraîne-toi : homothétie et aires
Les aires sont multipliées par k² (pas par k !).
IX. Reconnaître la nature d'une transformation
Méthode
Pour identifier la transformation reliant une figure à son image : comparer les longueurs (conservées ou multipliées par un facteur), l'orientation (conservée ou inversée) et chercher un éventuel centre ou axe.
🎮 Entraîne-toi : reconnaître la transformation
Compare longueurs, orientation, centre ou axe.
X. Composer deux transformations
Remarque : La composée de deux translations est une translation. La composée de deux symétries centrales est une translation. Ces résultats ne sont pas exigibles au brevet mais aident à comprendre les liens entre transformations.
XI. Image d'une figure usuelle
Propriété
L'image d'une droite est une droite, l'image d'un segment est un segment de même longueur (sauf homothétie), l'image d'un cercle de rayon r par une homothétie de rapport k est un cercle de rayon |k|\times r.
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ Rapport négatif : pas de longueur négative
Avec k = -2, un segment de 3 cm a une image de |-2| \times 3 = 6 cm, jamais « −6 cm ». Le signe de k indique seulement que l'image passe de l'autre côté du centre (figure retournée).
⚠️ Aires : multipliées par k², pas par k
Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 mais les aires par 3^2 = 9. Ne confonds pas l'effet sur les longueurs (et les périmètres) avec l'effet sur les aires.
👆 ▶ À toi : une homothétie de rapport −2 transforme un triangle de périmètre 9 cm et d'aire 5 cm². Périmètre et aire de l'image ? Vérifie
Le périmètre est une longueur : il est multiplié par |-2| = 2 : 9 \times 2 = 18 cm.
L'aire est multipliée par (-2)^2 = 4 : 5 \times 4 = 20 cm².
L'aire est multipliée par (-2)^2 = 4 : 5 \times 4 = 20 cm².