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Fiche d'exercices Logimaths | Troisième

Fiche d'exercices : Triangles semblables

12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Reconnaître des triangles semblables⭐ Deux triangles ABC et A'B'C' ont pour angles : \begin{aligned}\widehat A &= \widehat{A'} \\ &= 50°\end{aligned} et \begin{aligned}\widehat B &= \widehat{B'} \\ &= 70°\end{aligned}
  1. Calculer la mesure de l'angle \widehat C, puis de l'angle \widehat{C'}.
  2. Que peut-on en conclure sur les triangles ABC et A'B'C' ?
  3. Quelle propriété permet de conclure à partir des angles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) \begin{aligned}\widehat C &= 180-50-70 \\ &= 60°\end{aligned} De même, \widehat{C'} = \mathbf{60°}.
b) Les deux triangles ont leurs trois angles égaux deux à deux : ils sont semblables.
c) Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux (donc trois, par somme des angles), alors ils sont semblables.
Exercice 2 : Calculer une longueur avec le rapport de similitude⭐ Les triangles ABC et DEF sont semblables, avec AB=4 cm, DE=6 cm et BC=5 cm.
  1. Calculer le rapport de similitude de ABC vers DEF (rapport \dfrac{DE}{AB}).
  2. En déduire la longueur EF.
  3. Si l'aire de ABC est 10 cm^2, quelle est l'aire de DEF (rappel : les aires sont multipliées par le carré du rapport) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) Rapport = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac64 = \mathbf{1{,}5}.
b) \begin{aligned}EF &= BC \times 1{,}5 \\ &= 5\times1{,}5 \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm.
c) Aire de DEF {= 10 \times 1{,}5^2 = 10\times2{,}25 = \mathbf{22{,}5}} cm^2.
Exercice 3 : Critère des côtés proportionnels⭐ Triangle 1 de côtés 4, 6, 8 cm. Triangle 2 de côtés 6, 9, 12 cm.
  1. Calculer les trois rapports entre côtés correspondants.
  2. Les deux triangles sont-ils semblables ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) \dfrac64=1{,}5 ; \dfrac96=1{,}5 ; \dfrac{12}{8}=1{,}5.
b) Les trois rapports sont égaux : les triangles sont semblables (rapport 1{,}5).

Le cœur du chapitre

Exercice 4 : Un angle et côtés proportionnels⭐⭐ Deux triangles ont un angle commun de 40^{\circ}, avec les côtés adjacents dans le rapport \dfrac{6}{4}=1{,}5 pour l'un et \dfrac{9}{6}=1{,}5 pour l'autre.
  1. Ce troisième critère de similitude est-il vérifié ?
  2. Conclure sur les deux triangles.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) Oui, l'angle est égal et les côtés adjacents proportionnels (même rapport 1{,}5).
b) Les deux triangles sont semblables.
Exercice 5 : Configuration de Thalès et similitude⭐⭐ Dans la configuration de Thalès, AM=3, AB=9, AN=4, AC=12, (MN)\parallel(BC).
  1. Justifier que les triangles AMN et ABC sont semblables.
  2. Calculer le rapport de similitude.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) Ils ont l'angle \widehat A en commun et (MN)\parallel(BC) donne des angles correspondants égaux : ils sont semblables.
b) Rapport =\dfrac{AM}{AB}=\dfrac39=\mathbf{\dfrac13}.
Exercice 6 : Calculer un angle par similitude⭐⭐ Deux triangles ABC et DEF sont semblables, avec \widehat A=52^{\circ} et \widehat B=71^{\circ}.
  1. Calculer \widehat C.
  2. En déduire \widehat D, \widehat E et \widehat F.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) \begin{aligned}\widehat C &= 180-52-71 \\ &= \mathbf{57^{\circ}}\end{aligned}
b) Par similitude, \widehat D=52^{\circ}, \widehat E=71^{\circ}, {\widehat F=57^{\circ}}.
Exercice 7 : Rapport des aires⭐⭐ Deux triangles semblables ont un rapport de similitude k=3.
  1. Calculer le rapport des aires.
  2. Si l'aire du petit triangle est 5 cm^2, calculer l'aire du grand.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) Rapport des aires =k^2=\mathbf9.
b) Aire du grand =5\times9=\mathbf{45} cm^2.
Exercice 8 : Trouver un côté inconnu⭐⭐ Deux triangles semblables : le premier a des côtés 5, 7, 9 cm ; le second a un côté correspondant à 9 cm qui mesure 18 cm.
  1. Calculer le rapport de similitude.
  2. Calculer les deux autres côtés du second triangle.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) Rapport =\dfrac{18}{9}=\mathbf2.
b) 5\times2=10 cm et 7\times2=14 cm.
Exercice 9 : Triangles emboîtés⭐⭐ Un triangle ABC est semblable à un triangle ADE (avec D\in[AB], {E\in[AC]}), de rapport \dfrac23.
  1. Si BC=15 cm, calculer DE.
  2. Si l'aire de ABC est 36 cm^2, calculer l'aire de ADE.
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) \begin{aligned}DE &= 15\times\dfrac23 \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
b) Aire \begin{aligned}ADE &= 36\times\left(\dfrac23\right)^2 \\ &= 36\times\dfrac49 \\ &= \mathbf{16}\end{aligned} cm^2.

Pour aller plus loin

Exercice 10 : Distinguer semblable et isométrique⭐⭐
  1. Deux triangles ont les mêmes angles et des côtés dans un rapport 2. Sont-ils isométriques ? Semblables ?
  2. Deux triangles ont exactement les mêmes longueurs de côtés. Sont-ils semblables ? Isométriques ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) Ils sont semblables mais pas isométriques (rapport \neq1).
b) Ils sont isométriques (donc aussi semblables, avec un rapport de similitude égal à 1).
Exercice 11 : Composer deux similitudes⭐⭐⭐ Un triangle T_1 est semblable à T_2 (rapport 2), et T_2 est semblable à T_3 (rapport 1{,}5).
  1. Calculer le rapport de similitude entre T_1 et T_3.
  2. Si un côté de T_1 mesure 4 cm, calculer le côté correspondant de T_3.
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) Rapport =2\times1{,}5=\mathbf3.
b) 4\times3=\mathbf{12} cm.
Exercice 12 : Problème complet⭐⭐⭐ Une maquette de tour est semblable à la tour réelle, de rapport \dfrac{1}{50}. La maquette mesure 60 cm de haut.
  1. Calculer la hauteur réelle de la tour (en m).
  2. Si l'aire de la base de la maquette est 25 cm^2, calculer l'aire de la base réelle (en m^2).
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) Hauteur réelle =60\times50=3000 cm {=\mathbf{30}} m.
b) Rapport des aires =50^2=2500. Aire réelle =25\times2500=62\,500 cm^2=\mathbf{6{,}25} m^2.
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