Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Triangles semblables
Critères de similitude et rapport de longueurs
I. Définition
Définition
Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux (même forme), ce qui équivaut à dire que leurs côtés sont proportionnels deux à deux (même forme, taille différente).
II. Premier critère : deux angles égaux
Propriété
Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables (le troisième angle est automatiquement égal, car la somme des angles d'un triangle vaut 180^{\circ}).
🎮 Entraîne-toi : semblables ou pas ?
Calcule le troisième angle de chaque triangle (180° moins les deux autres), puis compare.
III. Deuxième critère : côtés proportionnels
Propriété
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles deux à deux (dans le même ordre), alors les deux triangles sont semblables.
Exemple :Triangles de côtés (3\,;4\,;5) et (6\,;8\,;10) : \begin{aligned}\dfrac63 &= \dfrac84 \\ &= \dfrac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned} donc ils sont semblables.
IV. Troisième critère : un angle égal entre côtés proportionnels
Propriété
Si deux triangles ont un angle égal, et si les côtés adjacents à cet angle sont proportionnels deux à deux, alors les triangles sont semblables.
V. Rapport de similitude
Définition
Le rapport de similitude entre deux triangles semblables est le rapport commun entre deux côtés correspondants.
Méthode
Une fois les triangles reconnus semblables, on identifie le rapport de similitude (rapport entre deux côtés correspondants connus), puis on l'applique aux autres côtés.
Exemple :Deux triangles semblables ont des côtés correspondants 4 cm et 10 cm : le rapport est \dfrac{10}{4}=2{,}5. Un autre côté du petit triangle valant 3 cm correspond donc à 3 \times 2{,}5 = 7{,}5 cm dans le grand triangle.
🎮 Entraîne-toi : le rapport de similitude
Divise la longueur du grand triangle par la longueur correspondante du petit.
🎮 Entraîne-toi : la longueur manquante
Trouve le rapport avec les deux côtés connus, puis applique-le au troisième.
cm
VI. Configuration de Thalès et triangles semblables
Remarque : La configuration de Thalès (deux droites sécantes coupées par deux parallèles) produit toujours deux triangles semblables, car ils ont deux angles égaux (angles correspondants et angle commun en A).
VII. Rapport des aires de deux triangles semblables
Théorème
Si deux triangles semblables ont un rapport de similitude k (pour les longueurs), alors le rapport de leurs aires vaut k^2.
Exemple :Rapport de similitude 2{,}5 : le rapport des aires vaut 2{,}5^2=6{,}25.
🎮 Entraîne-toi : l'effet sur les aires
Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k².
cm²
VIII. Identifier des triangles semblables sur une figure
Méthode
Pour repérer des triangles semblables sur une figure complexe, chercher des angles communs (angle partagé, angles alternes-internes créés par des parallèles) ou des configurations de Thalès.
IX. Utiliser la similitude pour calculer un angle
Propriété
Dans deux triangles semblables, les angles correspondants sont égaux : connaître un angle dans l'un des triangles donne directement l'angle correspondant dans l'autre.
X. Problème avec triangles semblables emboîtés
Méthode
Pour un problème avec plusieurs triangles semblables emboîtés (par exemple une suite d'agrandissements), on peut composer plusieurs rapports de similitude en les multipliant entre eux.
XI. Différence entre triangles semblables et triangles isométriques
Remarque : Deux triangles isométriques (superposables) sont un cas particulier de triangles semblables avec un rapport de similitude égal à 1 : mêmes angles et mêmes longueurs de côtés.
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ Le rapport dans le bon sens
Le rapport de similitude de ABC vers DEF se calcule en divisant une longueur de DEF par la longueur CORRESPONDANTE de ABC (par exemple \dfrac{DE}{AB}). Dans l'autre sens (de DEF vers ABC), le rapport est inversé : \dfrac{AB}{DE}.
⚠️ Les aires : multipliées par k², jamais par k
Si toutes les longueurs doublent (k = 2), l'aire est multipliée par 2^2 = 4, pas par 2. Ne recopie jamais le rapport des longueurs pour les aires sans l'élever au carré.
👆 ▶ À toi : ABC et DEF sont semblables, avec AB = 3 cm, DE = 7,5 cm et BC = 4 cm. Calcule EF, puis le rapport des aires. Vérifie
Rapport de similitude : \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5.
Donc EF = 4 \times 2{,}5 = 10 cm.
Rapport des aires : 2{,}5^2 = 6,25.
Donc EF = 4 \times 2{,}5 = 10 cm.
Rapport des aires : 2{,}5^2 = 6,25.