Fiche d'exercices Logimaths | Troisième
Fiche d'exercices : Trigonométrie : calculer un angle
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Quelle touche de la calculatrice ?⭐
Dans chaque cas, on veut calculer un angle aigu d'un triangle rectangle. Indique la formule à utiliser (SOH, CAH ou TOA) et la touche réciproque correspondante.
- On connaît le côté opposé à l'angle et l'hypoténuse.
- On connaît le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse.
- On connaît le côté opposé et le côté adjacent.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Opposé et hypoténuse : le sinus (SOH), \sin = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, touche \sin^{-1}.
2. Adjacent et hypoténuse : le cosinus (CAH), \cos = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, touche \cos^{-1}.
3. Opposé et adjacent : la tangente (TOA), \tan = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}, touche \tan^{-1}.
2. Adjacent et hypoténuse : le cosinus (CAH), \cos = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, touche \cos^{-1}.
3. Opposé et adjacent : la tangente (TOA), \tan = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}, touche \tan^{-1}.
Exercice 2 : Trois angles qui tombent juste⭐
À la calculatrice (en mode degrés), calcule :
- \sin^{-1}(0{,}5)
- \cos^{-1}(0{,}5)
- \tan^{-1}(1)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \sin^{-1}(0{,}5) = 30^{\circ} : un angle de 30° a un sinus égal à 0,5.
2. \cos^{-1}(0{,}5) = 60^{\circ}.
3. \tan^{-1}(1) = 45^{\circ} : dans un triangle rectangle isocèle, opposé et adjacent sont égaux, donc leur quotient vaut 1.
Ces trois résultats sont exacts : la calculatrice ne donne pas toujours un nombre à arrondir.
2. \cos^{-1}(0{,}5) = 60^{\circ}.
3. \tan^{-1}(1) = 45^{\circ} : dans un triangle rectangle isocèle, opposé et adjacent sont égaux, donc leur quotient vaut 1.
Ces trois résultats sont exacts : la calculatrice ne donne pas toujours un nombre à arrondir.
Le cœur du chapitre
🧮 Rappel Calculatrice
Sur la Casio fx-92 du collège : SECONDE puis cos (ou sin, tan) affiche la fonction réciproque, et le petit D en haut de l'écran confirme le mode degrés. Le pas à pas est dans la fiche de cours, bloc 🧮.
Exercice 3 : Avec le cosinus⭐⭐
Le triangle RST est rectangle en S, avec RS = 7\text{ cm} et RT = 9\text{ cm}. Calcule la mesure de l'angle \widehat{SRT}, arrondie au degré.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
Par rapport à l'angle \widehat{SRT} : RS est le côté adjacent et RT l'hypoténuse (en face de l'angle droit \widehat{S}) : on utilise le cosinus (CAH).
\begin{aligned}\cos(\widehat{SRT}) &= \dfrac{RS}{RT} \\ &= \dfrac{7}{9}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{SRT} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{7}{9}\right) \\ &\approx 38{,}9^{\circ}\end{aligned} soit 39° arrondi au degré.
\begin{aligned}\cos(\widehat{SRT}) &= \dfrac{RS}{RT} \\ &= \dfrac{7}{9}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{SRT} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{7}{9}\right) \\ &\approx 38{,}9^{\circ}\end{aligned} soit 39° arrondi au degré.
Exercice 4 : Avec le sinus⭐⭐
Le triangle DEF est rectangle en E, avec EF = 3\text{ cm} et DF = 8\text{ cm}. Calcule la mesure de l'angle \widehat{EDF}, arrondie au degré.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
Par rapport à l'angle \widehat{EDF} : EF est le côté opposé et DF l'hypoténuse : on utilise le sinus (SOH).
\begin{aligned}\sin(\widehat{EDF}) &= \dfrac{EF}{DF} \\ &= \dfrac{3}{8}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{EDF} &= \sin^{-1}\left(\dfrac{3}{8}\right) \\ &\approx 22{,}0^{\circ}\end{aligned} soit 22° arrondi au degré.
\begin{aligned}\sin(\widehat{EDF}) &= \dfrac{EF}{DF} \\ &= \dfrac{3}{8}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\widehat{EDF} &= \sin^{-1}\left(\dfrac{3}{8}\right) \\ &\approx 22{,}0^{\circ}\end{aligned} soit 22° arrondi au degré.
Exercice 5 : Les deux angles aigus⭐⭐
Le triangle JKL est rectangle en K, avec JK = 6\text{ cm} et KL = 9\text{ cm}.
- Calcule la mesure de l'angle \widehat{KJL}, arrondie au degré.
- Calcule la mesure de l'angle \widehat{KLJ}, arrondie au degré.
- Vérifie que tes deux résultats sont cohérents.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Par rapport à \widehat{KJL} : KL est opposé, JK est adjacent (TOA) : \begin{aligned}\tan(\widehat{KJL}) &= \dfrac{KL}{JK} \\ &= \dfrac{9}{6} \\ &= 1{,}5\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{KJL} &= \tan^{-1}(1{,}5) \\ &\approx 56{,}31^{\circ}\end{aligned} soit 56°.
2. Par rapport à \widehat{KLJ}, les rôles s'échangent : \begin{aligned}\tan(\widehat{KLJ}) &= \dfrac{JK}{KL} \\ &= \dfrac{6}{9}\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{KLJ} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{6}{9}\right) \\ &\approx 33{,}69^{\circ}\end{aligned} soit 34°.
3. 56{,}31 + 33{,}69 = 90 : les deux angles aigus sont bien complémentaires (et 56 + 34 = 90 aussi avec les arrondis).
2. Par rapport à \widehat{KLJ}, les rôles s'échangent : \begin{aligned}\tan(\widehat{KLJ}) &= \dfrac{JK}{KL} \\ &= \dfrac{6}{9}\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{KLJ} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{6}{9}\right) \\ &\approx 33{,}69^{\circ}\end{aligned} soit 34°.
3. 56{,}31 + 33{,}69 = 90 : les deux angles aigus sont bien complémentaires (et 56 + 34 = 90 aussi avec les arrondis).
Exercice 6 : La rampe d'accès⭐⭐
Une rampe d'accès de 5,20 m de long permet de monter sur une terrasse haute de 0,52 m. Calcule la mesure de l'angle que fait la rampe avec l'horizontale, arrondie au degré.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
La rampe est l'hypoténuse (5,20 m) et la hauteur de la terrasse est le côté opposé à l'angle cherché (0,52 m) : on utilise le sinus (SOH).
\begin{aligned}\sin(\text{angle}) &= \dfrac{0{,}52}{5{,}20} \\ &= 0{,}1\end{aligned}
Donc angle = \sin^{-1}(0{,}1) \approx 5{,}7^{\circ}, soit 6° arrondi au degré : une pente très douce, adaptée à une rampe d'accès.
\begin{aligned}\sin(\text{angle}) &= \dfrac{0{,}52}{5{,}20} \\ &= 0{,}1\end{aligned}
Donc angle = \sin^{-1}(0{,}1) \approx 5{,}7^{\circ}, soit 6° arrondi au degré : une pente très douce, adaptée à une rampe d'accès.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : L'échelle bien posée⭐⭐⭐
Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur vertical ; son pied est posé à 1,80 m du mur.
- Calcule la mesure de l'angle entre l'échelle et le sol, arrondie au degré.
- Déduis-en la mesure de l'angle entre l'échelle et le mur, arrondie au degré.
- Pour travailler en sécurité, l'angle entre une échelle et le sol doit être d'environ 75°. Cette échelle est-elle bien posée ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Par rapport à l'angle entre l'échelle et le sol : la distance au mur (1,80 m) est le côté adjacent et l'échelle (6 m) est l'hypoténuse (CAH).
\begin{aligned}\cos(\text{angle}) &= \dfrac{1{,}80}{6} \\ &= 0{,}3\end{aligned} donc angle = \cos^{-1}(0{,}3) \approx 72{,}54^{\circ}, soit 73°.
2. Les deux angles aigus sont complémentaires : 90 - 72{,}54 = 17{,}46^{\circ}, soit 17° arrondi au degré.
3. 72,5° est proche des 75° recommandés, mais un peu plus faible : l'échelle est légèrement trop couchée. En rapprochant un peu le pied du mur, l'angle avec le sol augmente vers 75°.
\begin{aligned}\cos(\text{angle}) &= \dfrac{1{,}80}{6} \\ &= 0{,}3\end{aligned} donc angle = \cos^{-1}(0{,}3) \approx 72{,}54^{\circ}, soit 73°.
2. Les deux angles aigus sont complémentaires : 90 - 72{,}54 = 17{,}46^{\circ}, soit 17° arrondi au degré.
3. 72,5° est proche des 75° recommandés, mais un peu plus faible : l'échelle est légèrement trop couchée. En rapprochant un peu le pied du mur, l'angle avec le sol augmente vers 75°.
Exercice 8 : La tour et les deux points de vue⭐⭐⭐
Maya se tient à 25 m du pied d'une tour verticale haute de 18 m, sur un sol horizontal.
- Calcule la mesure de l'angle entre l'horizontale et la ligne qui va de Maya au sommet de la tour, arrondie au degré.
- Du sommet de la tour, on vise la position de Maya : calcule la mesure de l'angle entre le mur de la tour et cette ligne de visée, arrondie au degré.
- Vérifie que tes deux résultats sont cohérents.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Pour l'angle au niveau de Maya : la hauteur de la tour (18 m) est le côté opposé et la distance au pied (25 m) le côté adjacent (TOA).
\begin{aligned}\tan(\text{angle}) &= \dfrac{18}{25} \\ &= 0{,}72\end{aligned} donc angle = \tan^{-1}(0{,}72) \approx 35{,}75^{\circ}, soit 36°.
2. Vu du sommet, les rôles s'échangent : le côté opposé est la distance au sol (25 m) et le côté adjacent la hauteur (18 m).
\tan(\text{angle}) = \dfrac{25}{18}, donc angle {= \tan^{-1}\left(\dfrac{25}{18}\right) \approx 54{,}25^{\circ}}, soit 54°.
3. Ce sont les deux angles aigus du même triangle rectangle : {35{,}75 + 54{,}25 = 90}, et avec les arrondis 36 + 54 = 90 : les résultats sont cohérents.
\begin{aligned}\tan(\text{angle}) &= \dfrac{18}{25} \\ &= 0{,}72\end{aligned} donc angle = \tan^{-1}(0{,}72) \approx 35{,}75^{\circ}, soit 36°.
2. Vu du sommet, les rôles s'échangent : le côté opposé est la distance au sol (25 m) et le côté adjacent la hauteur (18 m).
\tan(\text{angle}) = \dfrac{25}{18}, donc angle {= \tan^{-1}\left(\dfrac{25}{18}\right) \approx 54{,}25^{\circ}}, soit 54°.
3. Ce sont les deux angles aigus du même triangle rectangle : {35{,}75 + 54{,}25 = 90}, et avec les arrondis 36 + 54 = 90 : les résultats sont cohérents.