Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Trigonométrie : calculer un angle
Utiliser arcsin, arccos ou arctan pour retrouver une mesure d'angle
I. Le rappel : SOH-CAH-TOA
SOH-CAH-TOA
\sin = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} \cos = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} \tan = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}
Repérer les trois côtés
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit (c'est le plus long). Par rapport à l'angle étudié : le côté opposé est en face de lui, et le côté adjacent est celui qui le touche sans être l'hypoténuse.
🎮 Entraîne-toi : choisir la bonne touche
Regarde quels côtés tu connais, puis choisis la fonction réciproque qui va avec.
II. Retrouver un angle : les fonctions réciproques
Les trois étapes
- Repérer les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
- Choisir la formule qui utilise ces deux côtés (SOH, CAH ou TOA) et écrire le quotient.
- Appliquer la fonction réciproque : arcsin, arccos ou arctan (touches \sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1} de la calculatrice), puis arrondir comme demandé (souvent au degré).
III. L'exemple résolu
Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 8 et AC = 10. Calculer la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
Triangle ABC rectangle en B
Par rapport à l'angle \widehat{ACB} : le côté AB est opposé, le côté AC est l'hypoténuse. On utilise donc le sinus (SOH).
\begin{aligned}\sin(\widehat{ACB}) &= \dfrac{AB}{AC} \\ &= \dfrac{8}{10}\end{aligned}
Pour retrouver l'angle à partir de son sinus, on utilise la fonction réciproque \arcsin (touche \sin^{-1} de la calculatrice) :
\widehat{ACB} = \arcsin\left(\dfrac{8}{10}\right)
Résultat
\mathbf{\widehat{ACB} \approx 53{,}13^{\circ}}, soit 53° arrondi au degré.
🧮 Sur ta calculatrice de collège, pas à pas
Même geste avec cos et tan pour obtenir \cos^{-1} et \tan^{-1}.
Casio fx-92 Collège (la calculatrice standard au collège)
- appuie sur SECONDE puis sin : la fonction réciproque s'affiche (notée Arcsin( ou sin⁻¹( selon les modèles) ;
- tape 8 ÷ 10 (ou entre la fraction 8/10 avec la touche fraction), ferme la parenthèse et appuie sur = : tu dois lire 53,13… ;
- vérifie le petit D en haut de l'écran (mode degrés) : si un R ou un G s'affiche, reviens en degrés par le menu Réglages.
🎮 Entraîne-toi : retrouver un angle avec la tangente
Calcule le quotient opposé/adjacent, puis utilise la valeur donnée dans la question.
°
🎮 Entraîne-toi : retrouver un angle avec le cosinus
Calcule le quotient adjacent/hypoténuse, puis utilise la valeur donnée dans la question.
°
IV. Vérifier la cohérence du résultat
Les deux angles aigus sont complémentaires
Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 90°. Après un calcul, vérifie que tes résultats sont compatibles : si un angle aigu mesure 53°, l'autre mesure 90 - 53 = 37^{\circ}.
🎮 Entraîne-toi : le contrôle de cohérence
Additionne les deux angles aigus : la somme doit valoir exactement 90°.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ sin ou sin⁻¹ ?
\sin(\widehat{ACB}) est un QUOTIENT (un nombre sans unité), alors que \sin^{-1} redonne l'ANGLE en degrés. Écrire \widehat{ACB} = 0{,}8 est faux : il faut passer par \sin^{-1}(0{,}8) pour obtenir la mesure de l'angle.
⚠️ Opposé et adjacent dépendent de l'angle
Le même côté peut être opposé pour un angle et adjacent pour l'autre : repère toujours les côtés PAR RAPPORT à l'angle cherché. Seule l'hypoténuse ne change jamais : c'est toujours le côté en face de l'angle droit.
⚠️ Calculatrice en mode degrés
Vérifie que la calculatrice affiche D ou DEG. En mode radians, \sin^{-1}(0{,}8) donne 0,927 au lieu de 53,13 : un résultat absurde pour un angle de triangle doit te mettre la puce à l'oreille.
👆 ▶ À toi : le triangle DEF est rectangle en F, avec DF = 12 et EF = 5. Calcule la mesure de l'angle FDE (sommet D), arrondie au degré. Vérifie
Par rapport à l'angle \widehat{FDE} : EF est le côté opposé et DF le côté adjacent : on utilise la tangente (TOA).
\begin{aligned}\tan(\widehat{FDE}) &= \dfrac{EF}{DF} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{FDE} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{5}{12}\right) \\ &\approx 22{,}6^{\circ}\end{aligned} soit 23° arrondi au degré.
Cohérence : l'autre angle aigu mesure environ 90 − 22,6 = 67,4°, et 22,6 + 67,4 = 90 : tout va bien.
\begin{aligned}\tan(\widehat{FDE}) &= \dfrac{EF}{DF} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{FDE} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{5}{12}\right) \\ &\approx 22{,}6^{\circ}\end{aligned} soit 23° arrondi au degré.
Cohérence : l'autre angle aigu mesure environ 90 − 22,6 = 67,4°, et 22,6 + 67,4 = 90 : tout va bien.