Mascotte Logimaths Logimaths
Fiche d'exercices Logimaths | Troisième

Fiche d'exercices : Trigonométrie

12 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

📘 La fiche de cours ← Retour à la page 3ème

Échauffement

Exercice 1 : Cosinus et sinus⭐ ABC est un triangle rectangle en A. L'angle \widehat B mesure 35° et l'hypoténuse BC=8 cm.
  1. Rappeler les formules du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle.
  2. Calculer AB (arrondir au dixième).
  3. Calculer AC (arrondir au dixième).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
a) \cos(\widehat B) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}   {\sin(\widehat B) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}.
b) \begin{aligned}AB &= BC\times\cos(35°) \\ &\approx 8 \times 0{,}819 \\ &\approx \mathbf{6{,}6}\end{aligned} cm.
c) \begin{aligned}AC &= BC\times\sin(35°) \\ &\approx 8 \times 0{,}574 \\ &\approx \mathbf{4{,}6}\end{aligned} cm.
Exercice 2 : Tangente⭐ ABC est un triangle rectangle en A, avec AB=5 cm et AC=7 cm.
  1. Rappeler la formule de la tangente dans un triangle rectangle.
  2. Calculer \tan(\widehat B).
  3. En déduire la mesure de l'angle \widehat B (arrondie au degré).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
a) \tan(\widehat B) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.
b) \begin{aligned}\tan(\widehat B) &= \dfrac{AC}{AB} \\ &= \dfrac{7}{5} \\ &= \mathbf{1{,}4}\end{aligned}
c) \begin{aligned}\widehat B &= \tan^{-1}(1{,}4) \\ &\approx \mathbf{54°}\end{aligned}

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Calculer un côté avec le cosinus⭐⭐ ABC rectangle en A, \widehat B=42^{\circ}, AB=6 cm.
  1. Identifier le côté opposé, adjacent et l'hypoténuse par rapport à \widehat B.
  2. Calculer BC (arrondir au dixième).
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
a) AB est adjacent à \widehat B, AC est opposé, BC est l'hypoténuse.
b) \begin{aligned}\cos(\widehat B) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &\Rightarrow BC = \dfrac{6}{\cos(42^{\circ})} \\ &\approx \dfrac{6}{0{,}743} \\ &\approx \mathbf{8{,}1}\end{aligned} cm.
Exercice 4 : Calculer un angle avec le sinus⭐⭐ ABC rectangle en A, AC=5 cm, BC=13 cm.
  1. Calculer \sin(\widehat B).
  2. En déduire la mesure de \widehat B (arrondie au degré).
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
a) \begin{aligned}\sin(\widehat B) &= \dfrac{AC}{BC} \\ &= \dfrac{5}{13} \\ &\approx 0{,}385\end{aligned}
b) \begin{aligned}\widehat B &= \sin^{-1}(0{,}385) \\ &\approx 22{,}6^{\circ} \\ &\approx \mathbf{23^{\circ}}\end{aligned}
Exercice 5 : Valeurs remarquables⭐⭐
  1. Donner la valeur exacte de \sin(30^{\circ}).
  2. Donner la valeur exacte de \cos(60^{\circ}).
  3. Que remarque-t-on ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
a) \sin(30^{\circ}) = \mathbf{\dfrac12}.
b) \cos(60^{\circ}) = \mathbf{\dfrac12}.
c) Les deux valeurs sont égales, car 30^{\circ} et 60^{\circ} sont des angles complémentaires (\sin(\widehat A)=\cos(\widehat B) quand \widehat A+\widehat B=90^{\circ}).
Exercice 6 : Combiner Pythagore et trigonométrie⭐⭐ ABC rectangle en A, AB=9 cm, AC=12 cm.
  1. Calculer BC avec le théorème de Pythagore.
  2. Calculer \widehat B (arrondi au degré) à l'aide de la tangente.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
a) \begin{aligned}BC &= \sqrt{9^2+12^2} \\ &= \sqrt{225} \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} cm.
b) \begin{aligned}\tan(\widehat B) &= \dfrac{AC}{AB} \\ &= \dfrac{12}{9} \\ &\approx 1{,}333\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat B &\approx \tan^{-1}(1{,}333) \\ &\approx 53{,}1^{\circ} \\ &\approx \mathbf{53^{\circ}}\end{aligned}
Exercice 7 : Aire d'un triangle avec la trigonométrie⭐⭐ Un triangle a deux côtés de 8 cm et 10 cm formant un angle de 40^{\circ}.
  1. Calculer la hauteur relative au côté de 10 cm (en utilisant le sinus).
  2. Calculer l'aire du triangle (arrondir au dixième).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
a) \begin{aligned}h &= 8\times\sin(40^{\circ}) \\ &\approx 8\times0{,}643 \\ &\approx 5{,}14\end{aligned} cm.
b) Aire =\dfrac{10\times5{,}14}{2}\approx\mathbf{25{,}7} cm^2.
Exercice 8 : Angle d'élévation⭐⭐ Un observateur situé à 50 m d'une tour voit son sommet sous un angle d'élévation de 28^{\circ}.
  1. Faire un schéma en identifiant le triangle rectangle formé.
  2. Calculer la hauteur de la tour (arrondir au mètre).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
a) Le triangle rectangle a pour côté adjacent la distance horizontale (50 m) et pour côté opposé la hauteur de la tour.
b) \begin{aligned}\tan(28^{\circ}) &= \dfrac{h}{50} \\ &\Rightarrow h = 50\times\tan(28^{\circ}) \\ &\approx 50\times0{,}532 \\ &\approx \mathbf{27}\end{aligned} m.

Pour aller plus loin

Exercice 9 : La hauteur dans le triangle rectangle⭐⭐⭐ ABC est un triangle rectangle en A avec \widehat B=30^{\circ} et AB=10 cm. H est le pied de la hauteur issue de A : le triangle ABH est rectangle en H.
  1. Calculer AC dans le triangle ABC (arrondir au dixième).
  2. Calculer AH dans le triangle ABH, sachant \sin(30^{\circ})=0{,}5.
👆 ▶ Correction de l'exercice 9
a) Dans ABC rectangle en A : \begin{aligned}\tan(\widehat B) &= \dfrac{AC}{AB} \\ &\Rightarrow AC = 10\times\tan(30^{\circ}) \\ &\approx \mathbf{5{,}8}\end{aligned} cm.
b) Dans ABH rectangle en H, [AH] est le côté opposé à \widehat B et [AB] l’hypoténuse : \begin{aligned}\sin(30^{\circ}) &= \dfrac{AH}{AB} \\ &\Rightarrow AH = 10\times0{,}5 \\ &\Rightarrow AH = \mathbf{5}\end{aligned} cm.
Exercice 10 : Résoudre un problème de rampe⭐⭐⭐ Une rampe d'accès pour PMR doit avoir une pente d'angle maximal 5^{\circ}. Elle doit permettre de monter une hauteur de 0{,}80 m.
  1. Quel côté du triangle rectangle représente la hauteur à franchir ?
  2. Calculer la longueur minimale de la rampe (arrondir au dixième de mètre), sachant \sin(5^{\circ})\approx0{,}087.
👆 ▶ Correction de l'exercice 10
a) La hauteur est le côté opposé à l'angle de la rampe.
b) \begin{aligned}\sin(5^{\circ}) &= \dfrac{0{,}80}{L} \\ &\Rightarrow L = \dfrac{0{,}80}{0{,}087} \\ &\approx \mathbf{9{,}2}\end{aligned} m.
Exercice 11 : Comparer deux angles⭐⭐⭐ Dans un triangle rectangle, un côté opposé mesure 4 cm et l'hypoténuse 9 cm pour l'angle \widehat A ; pour l'angle \widehat B d'un autre triangle rectangle, le côté opposé mesure 6 cm et l'hypoténuse 10 cm.
  1. Calculer \sin(\widehat A) et \sin(\widehat B).
  2. Quel est le plus grand des deux angles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 11
a) \begin{aligned}\sin(\widehat A) &= \dfrac49 \\ &\approx 0{,}444\end{aligned} \begin{aligned}\sin(\widehat B) &= \dfrac{6}{10} \\ &= 0{,}6\end{aligned}
b) \sin(\widehat B)>\sin(\widehat A), et le sinus est croissant sur [0^{\circ}\,;90^{\circ}] : donc \widehat B>\widehat A.
Exercice 12 : Problème complet (bac professionnel type)⭐⭐⭐ Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied étant à 1{,}5 m du mur.
  1. Calculer l'angle que fait l'échelle avec le sol (arrondir au degré).
  2. Calculer la hauteur atteinte sur le mur (arrondir au dixième de mètre).
👆 ▶ Correction de l'exercice 12
a) \begin{aligned}\cos(\widehat{\text{sol}}) &= \dfrac{1{,}5}{5} \\ &= 0{,}3 \\ &\Rightarrow \widehat{\text{sol}} = \cos^{-1}(0{,}3) \\ &\approx \mathbf{72{,}5^{\circ}}\end{aligned}
b) Par Pythagore : \begin{aligned}h &= \sqrt{5^2-1{,}5^2} \\ &= \sqrt{22{,}75} \\ &\approx \mathbf{4{,}8}\end{aligned} m.
📘 La fiche de cours du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre