Opposé, adjacent, hypoténuse
Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu donné : le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle, le côté adjacent est le côté de l'angle qui n'est pas l'hypoténuse, et l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long côté).
Triangle rectangle en B : par rapport à l'angle en A, l'hypoténuse AC fait face à l'angle droit, le côté opposé BC ne touche pas l'angle A, et le côté adjacent AB touche l'angle A sans être l'hypoténuse.
📐 Atelier : le triangle qui change de forme
Attrape le sommet C et déforme le triangle. Puis change l'angle de référence avec les deux boutons : l'hypoténuse ne bouge jamais (elle fait face à l'angle droit), mais opposé et adjacentéchangent leurs places. C'est toute l'erreur classique du chapitre, et elle se voit ici en un clic.
👆 attrape la pastille dorée en C et déforme le triangle : les longueurs se règlent au centimètre entier
SOH
CAH
TOA
Remarque à vérifier en déformant : le sinus et le cosinus ne dépassent jamais 1, parce que l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. La tangente, elle, peut dépasser 1 sans problème.
II. Les trois rapports trigonométriques (SOH-CAH-TOA)
🎨 Les trois rapports, un dessin chacun
Chaque rapport n'utilise que deux côtés sur trois. Le troisième ne sert pas : c'est lui qu'on repère en premier, et il est laissé en gris ci-dessous. L'angle de référence est toujours celui en A.
Un moyen de choisir sans hésiter : repère d'abord le côté dont tu n'as pas besoin. S'il te manque l'hypoténuse, c'est la tangente ; s'il te manque l'adjacent, c'est le sinus ; s'il te manque l'opposé, c'est le cosinus.
🎮 Entraîne-toi : choisir le bon rapport
Récite SOH-CAH-TOA avant de répondre.
🎮 Entraîne-toi : écrire un rapport en fraction
Repère les côtés par rapport à l'angle en B, puis écris la fraction.
/
III. Calculer une longueur à partir d'un angle
Identifier les côtés, choisir la formule
Identifier, par rapport à l'angle connu, quels côtés interviennent (opposé, adjacent, hypoténuse), choisir la formule correspondante, puis isoler la longueur cherchée. Exemple : triangle rectangle en B, angle \widehat{A}=35^{\circ}, hypoténuse AC=8 cm. Le côté AB est adjacent à \widehat{A} : \cos(35^{\circ}) = \dfrac{AB}{8}, donc \begin{aligned}AB &= 8 \times \cos(35^{\circ}) \\ &\approx 6{,}55\end{aligned} cm.
Exemple rédigé : on connaît l'hypoténuse et un angle1. Nommer les côtés par rapport à l'angle connu
Par rapport à l'angle en A : [AC] est l'hypoténuse, [BC] est le côté opposé.
2. Choisir le rapport (SOH-CAH-TOA)
Opposé et hypoténuse : c'est SOH, donc le sinus.
{\sin(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AC}}3. Remplacer, puis isoler\sin(35^{\circ}) = \dfrac{BC}{10}, donc {BC = 10 \times \sin(35^{\circ})}.
4. ConclureBC \approx 5{,}7 cm (arrondi au dixième).
Vérification de bon sens : 5,7 cm est bien plus petit que 10 cm. Un côté de l'angle droit ne peut jamais dépasser l'hypoténuse ; si tu trouves plus grand, tu as inversé la fraction.
🎮 Entraîne-toi : calculer une longueur
Côté = hypoténuse × (cosinus ou sinus de l'angle).
cm
IV. Calculer un angle à partir de deux longueurs
Le rapport, puis la touche inverse
Lorsque deux côtés sont connus, on calcule le rapport trigonométrique correspondant, puis on utilise la touche \sin^{-1}, \cos^{-1} ou \tan^{-1} de la calculatrice. Exemple : opposé = 5, hypoténuse = 9 : \sin(\widehat{A}) = \dfrac{5}{9}, donc \begin{aligned}\widehat{A} &= \sin^{-1}\left(\dfrac{5}{9}\right) \\ &\approx 33{,}7^{\circ}\end{aligned}
Exemple rédigé : on connaît deux côtés, on cherche l'angle1. Nommer les côtés
Par rapport à l'angle en A : [BC] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent. L'hypoténuse n'est pas donnée : on ne s'en sert pas.
2. Choisir le rapport
Opposé et adjacent : c'est TOA, donc la tangente.
\begin{aligned}\tan(\widehat{A}) &= \dfrac{BC}{AB} \\ &= \dfrac{4}{6}\end{aligned}3. Revenir à l'angle avec la touche inverse
On utilise la touche \tan^{-1} de la calculatrice (parfois notée Arctan, souvent en seconde fonction au-dessus de la touche tan), en mode degré.
\begin{aligned}\widehat{A} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{4}{6}\right) \\ &\approx 33{,}7^{\circ}\end{aligned}4. Conclure
L'angle en A mesure environ 34^{\circ} (arrondi au degré).
Deux vérifications qui évitent les catastrophes : la calculatrice doit être en degré (DEG, et non RAD ni GRAD), et un angle aigu de triangle rectangle est toujours compris entre 0° et 90°.
🎮 Entraîne-toi : retrouver l'angle
Choisis le bon rapport, puis la touche inverse. Réponds au degré près.
°
V. Utiliser le théorème de Pythagore avec la trigonométrie
Pythagore d'abord, trigonométrie ensuite
Lorsque le triangle a deux côtés connus mais qu'il faut trouver le troisième sans passer par un angle, on peut combiner le théorème de Pythagore avec la trigonométrie pour trouver ensuite un angle. Exemple : triangle rectangle de côtés de l'angle droit 6 et 8 : hypoténuse {=\sqrt{6^2+8^2}=10}, puis \sin(\widehat A)=\dfrac{6}{10} donne l'angle.
VI. Valeurs remarquables
À connaître\sin(30^{\circ})=\dfrac12, \cos(60^{\circ})=\dfrac12, \begin{aligned}\sin(45^{\circ}) &= \cos(45^{\circ}) \\ &= \dfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned} Ces valeurs sont utiles pour vérifier rapidement un résultat de calculatrice.
D'où viennent ces valeurs ? De deux figures, pas de la calculatrice
Ces valeurs ne s'apprennent pas par cœur : elles se retrouvent en coupant en deux un carré (à gauche) ou un triangle équilatéral (à droite). Les longueurs sont alors connues exactement, donc les rapports aussi.
Ce qu'on lit sur la figure de droite
Pour l'angle de 30^{\circ} (en C) : l'opposé est [AB] = 1 et l'hypoténuse est [AC] = 2, donc \sin(30^{\circ}) = \dfrac{1}{2}.
Pour l'angle de 60^{\circ} (en A) : l'adjacent est [AB] = 1 et l'hypoténuse [AC] = 2, donc \cos(60^{\circ}) = \dfrac{1}{2}.
30^{\circ}
45^{\circ}
60^{\circ}
sinus
\dfrac{1}{2}
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cosinus
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\dfrac{1}{2}
Regarde la colonne 30° et la colonne 60° : les deux lignes sont échangées. Ce n'est pas un hasard, c'est la propriété des angles complémentaires de la partie VII (30 + 60 = 90). Et pour 45°, sinus et cosinus sont égaux : le triangle est isocèle, l'opposé et l'adjacent ont la même longueur. Bonus utile : \tan(45^{\circ}) = 1.
🎮 Entraîne-toi : les valeurs remarquables
Retrouve-les sur les deux figures ci-dessus plutôt que de les réciter.
VII. Relation entre sinus et cosinus d'angles complémentaires
Propriété
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90^{\circ}), et {\sin(\widehat A)=\cos(\widehat B)} lorsque \widehat A + \widehat B = 90^{\circ}.
👁️ Le même côté, deux rôles : c'est ça, la propriété
Le côté [BC] ne change pas de longueur quand on change d'angle de référence. Ce qui change, c'est son nom : opposé vu de A, adjacent vu de C. Comme l'hypoténuse est la même dans les deux cas, la fraction est identique : c'est toute la démonstration.
Vu de l'angle en A[BC] est le côté opposé, donc {\sin(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AC}}.
Vu de l'angle en C[BC] est le côté adjacent, donc \cos(\widehat{C}) = \dfrac{BC}{AC}.
Conclusion
Les deux fractions sont les mêmes, donc \sin(\widehat{A}) = \cos(\widehat{C}), avec \widehat{A} + \widehat{C} = 90^{\circ}.
Et de la même façon, \cos(\widehat{A}) = \sin(\widehat{C}) : en passant d'un angle aigu à l'autre, sinus et cosinus échangent leurs rôles. C'est ce que confirme le tableau des valeurs remarquables : \begin{aligned}\sin(30^{\circ}) &= \cos(60^{\circ}) \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : les angles complémentaires
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus totalisent 90°.
°
VIII. Résoudre un problème avec plusieurs triangles rectangles
Enchaîner les triangles
Pour un problème avec deux triangles rectangles emboîtés partageant un côté, on calcule d'abord les éléments du premier triangle, puis on les réutilise comme données du second.
IX. Trigonométrie et calcul d'aire
La hauteur par le sinus
Pour calculer l'aire d'un triangle quelconque dont on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment, on peut d'abord calculer la hauteur associée grâce au sinus, puis appliquer la formule aire =\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}. Exemple : triangle avec deux côtés 6 et 8 formant un angle de 30^{\circ} : la hauteur relative au côté 8 vaut 6\times\sin(30^{\circ})=3, donc l'aire vaut \dfrac{8\times 3}{2}=12.
La hauteur qu'on ne voit pas, on la calcule
Le triangle ABC n'est pas rectangle : on ne peut donc pas lui appliquer directement le sinus. Mais la hauteur issue de C le coupe en deux triangles rectangles, et c'est dans l'un d'eux qu'on travaille.
1. Dans le triangle rectangle AHC
Par rapport à l'angle en A : [CH] est le côté opposé et [AC] l'hypoténuse, donc \sin(\widehat{A}) = \dfrac{h}{AC}, d'où {h = AC \times \sin(\widehat{A})}.
2. On revient à l'aire\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{AB \times h}{2} \\ &= \dfrac{AB \times AC \times \sin(\widehat{A})}{2}\end{aligned} Exemple : AB = 8 cm, AC = 5 cm et \widehat{A} = 44^{\circ}. Alors \begin{aligned}h &= 5 \times \sin(44^{\circ}) \\ &\approx 3{,}5\end{aligned} cm, puis \begin{aligned}\mathcal{A} &\approx \dfrac{8 \times 3{,}5}{2} \\ &\approx 13{,}9\end{aligned} cm².
X. Angle de vue et angle d'élévation
Modéliser par un triangle rectangle
Dans un problème de visée (angle d'élévation ou de dépression), on modélise la situation par un triangle rectangle où la ligne de visée est l'hypoténuse.
Du dessin de la situation au triangle rectangle1. Ce que le dessin donne
Le triangle est rectangle au pied de la tour. Par rapport à l'angle d'élévation : la hauteur est le côté opposé et la distance au sol le côté adjacent. La ligne de visée, elle, est l'hypoténuse.
2. Le rapport qui va bien
Opposé et adjacent : c'est la tangente.
\tan(32^{\circ}) = \dfrac{h}{40}, donc \begin{aligned}h &= 40 \times \tan(32^{\circ}) \\ &\approx 25\end{aligned} m.
⚠️ Si l'énoncé précise que l'observateur mesure 1,70 m, la hauteur totale de la tour est 25 + 1{,}70 \approx 26{,}7 m : le triangle part de l'œil, pas du sol. C'est l'oubli le plus fréquent dans ce type de problème.
XI. Erreurs classiques à éviter
⚠️ Un triangle rectangle, sinon rien
Bien vérifier que le triangle est rectangle avant d'utiliser sinus/cosinus/tangente : ces formules ne s'appliquent que dans un triangle rectangle.
⚠️ Opposé ou adjacent ?
Ne pas confondre le côté opposé et le côté adjacent : ils dépendent de l'angle choisi.
👆▶ À toi : ABC est rectangle en B, l'angle en A mesure 50° et AB = 7 cm. Calcule BC (au dixième), puis l'angle en C. Vérifie
Par rapport à l'angle en A, [BC] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent : \tan(50^{\circ})=\dfrac{BC}{7}, donc \begin{aligned}BC &= 7 \times \tan(50^{\circ}) \\ &\approx \mathbf{8{,}3}\end{aligned} cm. Les deux angles aigus sont complémentaires : \begin{aligned}\widehat C &= 90^{\circ} - 50^{\circ} \\ &= \mathbf{40^{\circ}}\end{aligned}
