Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Factorisations
Facteur commun, identités remarquables et équation produit nul
I. Principe de la factorisation
Définition
Factoriser une somme, c'est la transformer en un produit. On repère un facteur commun (un nombre, une lettre, ou une parenthèse) présent dans chaque terme.
Exemple : 5x - 5 = 5(x-1) {7x^2 - 3x = x(7x-3)}.
Exemple : 5x - 5 = 5(x-1) {7x^2 - 3x = x(7x-3)}.
🎮 Entraîne-toi : trouver le facteur commun
Cherche le plus grand nombre qui divise les deux termes.
II. Facteur commun sous forme de parenthèse
Méthode
Lorsque le facteur commun est lui-même une parenthèse identique dans chaque terme, on la met directement en facteur.
Exemple : \begin{aligned}(2x-1)(x+3) - (2x-1) &= (2x-1)\big[(x+3)-1\big] \\ &= (2x-1)(x+2)\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}(2x-1)(x+3) - (2x-1) &= (2x-1)\big[(x+3)-1\big] \\ &= (2x-1)(x+2)\end{aligned}
III. Identités remarquables (sens « factoriser »)
Théorème
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
Méthode
Pour reconnaître une identité remarquable : chercher deux carrés (a^2 et b^2) séparés par un + ou un -, et vérifier si le double produit 2ab est présent.
Exemple : \begin{aligned}x^2 - 9 &= x^2 - 3^2 \\ &= (x+3)(x-3)\end{aligned} \begin{aligned}4x^2+12x+9 &= (2x)^2+2\times 2x \times 3+3^2 \\ &= (2x+3)^2\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}x^2 - 9 &= x^2 - 3^2 \\ &= (x+3)(x-3)\end{aligned} \begin{aligned}4x^2+12x+9 &= (2x)^2+2\times 2x \times 3+3^2 \\ &= (2x+3)^2\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : reconnaître l'identité
Deux carrés ? Un double produit ? Choisis la forme factorisée qui convient.
🎮 Entraîne-toi : la différence de deux carrés
Écris le nombre sous la forme b × b avant de factoriser.
IV. Équation produit nul
Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : {A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0}.
Méthode
Pour résoudre (2x-1)(x+3) = 0 : on résout séparément 2x-1=0 et {x+3=0}, puis on rassemble les solutions.
Exemple : (2x-1)(x+3) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \text{ ou } x=-3.
Exemple : (2x-1)(x+3) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \text{ ou } x=-3.
🎮 Entraîne-toi : l'équation produit nul
Chaque facteur peut être nul : résous les deux petites équations.
(la plus petite) puis
(la plus grande)
V. Factoriser une expression à quatre termes (regroupement)
Méthode
Lorsqu'il n'y a pas de facteur commun évident à tous les termes, on peut regrouper les termes deux par deux, factoriser chaque groupe, puis faire apparaître un facteur commun aux deux groupes.
Exemple : \begin{aligned}ax+ay+bx+by &= a(x+y)+b(x+y) \\ &= (a+b)(x+y)\end{aligned}
Exemple : \begin{aligned}ax+ay+bx+by &= a(x+y)+b(x+y) \\ &= (a+b)(x+y)\end{aligned}
VI. Choisir la bonne méthode
Méthode
Devant une expression à factoriser : chercher d'abord un facteur commun simple, puis regarder si elle correspond à une identité remarquable (souvent après avoir sorti un facteur commun).
Exemple : \begin{aligned}3x^2 - 27 &= 3(x^2-9) \\ &= 3(x-3)(x+3)\end{aligned} : facteur commun puis identité remarquable.
Exemple : \begin{aligned}3x^2 - 27 &= 3(x^2-9) \\ &= 3(x-3)(x+3)\end{aligned} : facteur commun puis identité remarquable.
VII. Factoriser une expression de degré 2 sans terme constant
Méthode
Une expression de la forme ax^2+bx (sans terme constant) se factorise toujours par la mise en évidence de x : ax^2+bx = x(ax+b).
Exemple : 5x^2 - 15x = 5x(x-3).
Exemple : 5x^2 - 15x = 5x(x-3).
VIII. Simplifier une fraction grâce à la factorisation
Méthode
Pour simplifier une fraction littérale, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs (sous condition qu'ils ne s'annulent pas).
Exemple : \begin{aligned}\dfrac{x^2-9}{x+3} &= \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} \\ &= x-3\end{aligned} (pour x \neq -3).
Exemple : \begin{aligned}\dfrac{x^2-9}{x+3} &= \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} \\ &= x-3\end{aligned} (pour x \neq -3).
IX. Vérifier une factorisation
Méthode
Pour vérifier qu'une factorisation est correcte, on redéveloppe le produit obtenu : on doit retomber exactement sur l'expression de départ.
Exemple : Vérification de {x^2-9=(x-3)(x+3)} : en développant, \begin{aligned}(x-3)(x+3) &= x^2+3x-3x-9 \\ &= x^2-9\end{aligned} Correct.
Exemple : Vérification de {x^2-9=(x-3)(x+3)} : en développant, \begin{aligned}(x-3)(x+3) &= x^2+3x-3x-9 \\ &= x^2-9\end{aligned} Correct.
X. Les pièges du chapitre
⚠️ a² + b² ne se factorise pas
La somme a^2+b^2 ne se factorise pas avec les identités remarquables usuelles (ce n'est pas une différence de carrés).
⚠️ Ne simplifie que des FACTEURS
Ne pas « simplifier » \dfrac{x+3}{3} en x : 3 n'est pas un facteur du numérateur entier.
⚠️ Ne divise jamais par x
Pour résoudre x^2 = 7x, ne divise pas les deux membres par x (tu perdrais la solution x = 0) : écris x^2 - 7x = 0, factorise x(x-7) = 0, et conclus x = 0 ou x = 7.
👆 ▶ À toi : factorise complètement A = 2x² − 50, puis résous A = 0. Vérifie
Facteur commun puis identité a^2-b^2 : A = 2(x^2-25), donc A = 2(x-5)(x+5).
Produit nul : x-5=0 ou x+5=0, donc x = 5 ou x = −5.
Produit nul : x-5=0 ou x+5=0, donc x = 5 ou x = −5.