Fiche de cours Logimaths | Troisième

Fiche de cours : Fonctions affines

Coefficient directeur, ordonnée à l'origine et sens de variation

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I. Définition

Fonction affine, linéaire, constante Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres fixés.

Si {b = 0}, la fonction f(x) = ax est dite linéaire : c'est le cas de la proportionnalité (a est le coefficient de proportionnalité, et la droite passe par l'origine du repère) ;
si a = 0, la fonction f(x) = b est dite constante.

🎛️ Atelier : linéaire ou affine ?

La fonction linéaire n'est pas une autre famille : c'est le cas b = 0 de la fonction affine. Règle le curseur b et regarde la droite rose glisser jusqu'à venir se coller sur la droite verte, qui passe par l'origine.

a 2 b 3

y = et y =

Le quotient \dfrac{f(x)}{x} n'est constant que si la droite passe par l'origine : c'est exactement le cas {b = 0}, celui de la proportionnalité.

🎮 Entraîne-toi : calculer une image

Remplace x par la valeur donnée dans ax + b.

🎮 Entraîne-toi : linéaire, affine ou constante ?

Regarde b (le nombre tout seul) et a (le nombre devant x).

II. Représentation graphique

Une droite, deux nombres à lire La courbe représentative d'une fonction affine est une droite :

a est le coefficient directeur (la pente de la droite) ;
b est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées, d'abscisse 0).

Tracer la droite Placer le point (0\,;b), puis se déplacer de 1 vers la droite et de a vers le haut (ou le bas si a < 0) pour trouver un second point.

Tracer la droite de f(x)=ax+b : on place le point (0\,;b), puis on avance de 1 et on monte de a pour obtenir un second point.

🎛️ Atelier : la droite manipulable

Deux curseurs, deux gestes très différents : a fait pivoter la droite autour du point (0\,;b), b la fait monter ou descendre sans changer sa pente. Le triangle bleu est le triangle de pente : on avance de 1, on monte de a.

a 1,5 b 2

Le triangle de pente se répète à l'identique tout au long de la droite : quel que soit l'endroit d'où l'on part, avancer de 1 fait toujours varier la hauteur de a. C'est cela, un coefficient directeur.

🎮 Entraîne-toi : lire a et b sur la droite

b se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées ; a se lit en avançant de 1 à partir de ce point.

a = b =

III. Sens de variation

Le signe de a décide Si a > 0, la fonction affine est croissante. Si a < 0, elle est décroissante. Si a = 0, elle est constante.

🎮 Entraîne-toi : le sens de variation

Regarde uniquement le signe du coefficient directeur a.

IV. Déterminer une fonction affine à partir de deux points

D'abord a, puis b Connaissant deux points A(x_A\,;y_A) et B(x_B\,;y_B) de la droite : a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, puis on trouve b en remplaçant x et f(x) par les coordonnées de l'un des points.
Exemple : A(1\,;5) et B(3\,;9) : \begin{aligned}a &= \dfrac{9-5}{3-1} \\ &= 2\end{aligned} Avec A : 5 = 2 \times 1 + b, donc b = 3. Ainsi f(x) = 2x + 3.

Accroissements proportionnels Une fonction affine f(x) = ax + b correspond à un tableau de valeurs où les écarts d'ordonnées sont proportionnels aux écarts d'abscisses (accroissement constant), contrairement à un tableau de proportionnalité classique qui exige {b = 0}.

🎛️ Atelier : retrouver a et b à partir de deux points

Attrape le point A ou le point B et fais-le glisser (au doigt ou à la souris). Le calcul se remplit tout seul avec tes valeurs : d'abord a, puis b.

Les ordonnées vont au numérateur, les abscisses au dénominateur, et toujours dans le même ordre : B moins A en haut, B moins A en bas.

🎮 Entraîne-toi : le coefficient directeur

a = (différence des y) divisée par (différence des x).

V. Trouver un antécédent : résoudre f(x) = k

Une équation du premier degré Pour trouver l'antécédent de k par f(x) = ax + b, on résout l'équation ax + b = k, soit x = \dfrac{k - b}{a} (pour a \neq 0).
Exemple : pour f(x) = 3x - 2, l'antécédent de 10 est \begin{aligned}x &= \dfrac{10 + 2}{3} \\ &= 4\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : trouver un antécédent

Résous ax + b = k : soustrais b, puis divise par a.

VI. Deux droites : parallèles, comparaison, intersection

Droites parallèles Deux fonctions affines ont des représentations graphiques parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur a.
Exemple : f(x) = 2x + 3 et {g(x) = 2x - 5} ont des représentations graphiques parallèles (même coefficient directeur 2).

Comparer deux fonctions affines Pour déterminer où f(x) > g(x) avec f et g affines, on résout l'inéquation f(x) - g(x) > 0, ce qui revient à une inéquation du premier degré.
Exemple : f(x) = 2x + 1 et g(x) = x + 4 : f(x) > g(x) \iff 2x + 1 > x + 4 \iff x > 3.

Point d'intersection Pour trouver le point d'intersection des courbes de deux fonctions affines f et g, on résout l'équation f(x) = g(x) pour obtenir l'abscisse, puis on calcule l'ordonnée avec l'une des deux fonctions.
Exemple : f(x) = 2x + 1 et {g(x) = -x + 7} : \begin{aligned}2x + 1 = -x + 7 &\iff 3x = 6 \\ &\iff x = 2 \end{aligned} puis f(2) = 5. Point d'intersection : (2\,;5).

🎮 Entraîne-toi : le point d'intersection

Résous f(x) = g(x) : regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre.

VII. Modéliser : problèmes de tarifs

Partie fixe + tarif unitaire De nombreuses situations concrètes (facture avec abonnement + consommation, location avec forfait + kilométrage) se modélisent par une fonction affine f(x) = ax + b, où b est la partie fixe et a le tarif unitaire.
Exemple : un forfait téléphonique coûte 10 € plus 0,05 € par minute : {f(x) = 0{,}05x + 10}.

VIII. Les pièges du chapitre

⚠️ Ne confonds pas a et b Dans f(x) = 3x + 5, la pente est 3 (le nombre DEVANT x) et l'ordonnée à l'origine est 5. Sur un graphique, b se lit sur l'axe vertical ; a se lit en avançant de 1 en abscisse.

⚠️ Image ou antécédent ? Calculer f(4), c'est trouver une IMAGE (on remplace x par 4). Résoudre f(x) = 4, c'est trouver un ANTÉCÉDENT (on cherche le x qui donne 4) : deux questions opposées, à ne jamais confondre.

👆 ▶ À toi : f est affine avec f(0) = 4 et f(5) = 19. Détermine f(x), puis l'antécédent de 25. Vérifie

\begin{aligned}a &= \dfrac{19 - 4}{5 - 0} \\ &= 3\end{aligned} et b = f(0) = 4 : f(x) = 3x + 4.
Antécédent de 25 : 3x + 4 = 25, donc 3x = 21, x = 7.

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