Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Notion de fonction
Image, antécédent et représentation graphique
I. Vocabulaire
Définition
Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x, associe un seul nombre noté f(x). On dit que f(x) est l'image de x par f, et que x est un antécédent de f(x).
Remarque : Un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemple :Si f(x) = 2x-1, alors l'image de 3 est \begin{aligned}f(3) &= 2\times 3-1 \\ &= 5\end{aligned}
Le nombre qui entre :
3
Et dans l'autre sens ?
Faire tourner la machine à l'endroit, c'est calculer une image : on remplace, on calcule, c'est fini.
Faire tourner la machine à l'envers (je connais la sortie, je cherche l'entrée), c'est chercher un
antécédent : cette fois il faut résoudre une équation, et elle peut avoir plusieurs solutions, ou aucune.
🎮 Entraîne-toi : image ou antécédent ?
f(nombre de départ) = résultat : le résultat est l'image, le départ est un antécédent.
II. Notations
Propriété
On note f: x \mapsto 2x-1 pour définir la fonction, et f(3)=5 pour donner une image. La notation f(x) se lit « f de x ».
III. Calculer une image
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction donnée par une expression, on remplace x par ce nombre dans l'expression et on calcule.
Exemple :Pour f(x)=x^2-3x+1, l'image de -2 est \begin{aligned}f(-2) &= 4+6+1 \\ &= 11\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : calculer une image
Remplace x par la valeur donnée partout dans l'expression, puis calcule.
IV. Chercher un antécédent
Méthode
Pour trouver un antécédent de k, on résout l'équation f(x)=k.
Exemple :Pour f(x)=2x-1, trouver un antécédent de 7 revient à résoudre 2x-1=7, soit x=4.
🎮 Entraîne-toi : trouver un antécédent
Résous ax + b = k : soustrais b, puis divise par a.
V. Représentation graphique
Définition
La courbe représentative de f, dans un repère, est l'ensemble des points de coordonnées (x\,;f(x)).
VI. Lecture graphique d'une image
Méthode
Pour lire l'image d'un nombre a sur un graphique : partir de a sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée du point obtenu.
VII. Lecture graphique d'un antécédent
Méthode
Pour lire un antécédent d'un nombre k : partir de k sur l'axe des ordonnées, avancer jusqu'à la courbe, puis lire l'abscisse du (ou des) point(s) obtenu(s).
Remarque : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents si la courbe coupe plusieurs fois la droite horizontale d'ordonnée k.
VIII. Construire un tableau de valeurs
Méthode
Pour tracer la courbe d'une fonction, on calcule les images de plusieurs valeurs de x choisies régulièrement, on place les points correspondants, puis on les relie.
Exemple :Pour f(x)=x^2 : f(-2)=4, f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4.
🎮 Entraîne-toi : lire un tableau de valeurs
Chaque colonne du tableau relie un nombre x (en haut) à son image f(x) (en bas).
IX. Fonctions données par une courbe (sans expression)
Remarque : Une fonction peut être définie uniquement par sa courbe (sans formule) : toutes les lectures d'images et d'antécédents restent possibles graphiquement.
X. Résoudre une équation ou une inéquation graphiquement
Méthode
Résoudre f(x)=k revient à chercher les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k. Résoudre f(x)>k revient à chercher les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite horizontale d'ordonnée k.
XI. Comparer deux fonctions sur un graphique
Méthode
Pour comparer f(x) et g(x) sur un intervalle, on regarde quelle courbe est au-dessus de l'autre : si la courbe de f est au-dessus de celle de g en x=a, alors f(a)>g(a).
Exemple :Si les courbes de f et g se croisent en x=3, alors f(3)=g(3).
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ f(x) ne veut pas dire f × x
La notation f(x) se lit « f de x » : ce n'est PAS une multiplication de f par x. Les parenthèses désignent ici le nombre de départ, pas un produit.
⚠️ Image ou antécédent ?
Calculer f(2), c'est trouver l'IMAGE de 2 (on remplace x par 2). Résoudre f(x) = 2, c'est chercher les ANTÉCÉDENTS de 2 (on cherche les x qui donnent 2) : sur le graphique, l'image se lit verticalement puis horizontalement, l'antécédent dans l'autre sens.
⚠️ Une seule image, mais plusieurs antécédents possibles
Chaque nombre a UNE SEULE image, mais un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents : la courbe peut repasser plusieurs fois à la même hauteur (ou jamais).
👆 ▶ À toi : g(x) = 4x + 1. Calcule l'image de 2, puis l'antécédent de 21. Vérifie
Image de 2 : \begin{aligned}g(2) &= 4 \times 2 + 1 \\ &= \mathbf{9}\end{aligned}
Antécédent de 21 : 4x + 1 = 21 donne 4x = 20, soit x = 5.
Antécédent de 21 : 4x + 1 = 21 donne 4x = 20, soit x = 5.