Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Proportionnalité
Produit en croix, pourcentages et vitesse moyenne
I. Définition
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Propriété
Dans un tableau de proportionnalité, tous les rapports colonne par colonne sont égaux : \begin{aligned}\dfrac{b}{a} &= \dfrac{d}{c} \\ &= k\end{aligned} (coefficient).
🎮 Entraîne-toi : le coefficient de proportionnalité
k = (nombre du bas) divisé par (nombre du haut) d'une même colonne.
II. Le produit en croix
Méthode
Dans un tableau proportionnel avec trois valeurs connues a, b, c et une inconnue x (avec a et c dans la même colonne), la quatrième valeur s'obtient par x = \dfrac{b \times c}{a} (produit en croix).
Exemple : 4 kg de pommes coûtent 6 €. Combien coûtent 7 kg ? \begin{aligned}x &= \dfrac{6 \times 7}{4} \\ &= 10{,}5\end{aligned} €.
Exemple : 4 kg de pommes coûtent 6 €. Combien coûtent 7 kg ? \begin{aligned}x &= \dfrac{6 \times 7}{4} \\ &= 10{,}5\end{aligned} €.
🎮 Entraîne-toi : la quatrième proportionnelle
Produit en croix : x = (prix connu × quantité demandée) divisé par la quantité connue.
III. Reconnaître une situation de proportionnalité
Méthode
Pour vérifier si deux grandeurs sont proportionnelles, on calcule les quotients (ou produits en croix) de chaque colonne d'un tableau : s'ils sont tous égaux, la situation est proportionnelle.
Exemple : Le tableau (2 ; 3) et (6 ; 9) est proportionnel car \begin{aligned}\dfrac{3}{2} &= \dfrac{9}{6} \\ &= 1{,}5\end{aligned}
Exemple : Le tableau (2 ; 3) et (6 ; 9) est proportionnel car \begin{aligned}\dfrac{3}{2} &= \dfrac{9}{6} \\ &= 1{,}5\end{aligned}
IV. Pourcentages
Propriété
Appliquer un taux de t\,\% à une quantité N revient à calculer N \times \dfrac{t}{100}.
Exemple : Une réduction de 15 % sur un article à 80 € : la réduction vaut {80 \times \dfrac{15}{100} = 12} €, le nouveau prix est {80-12=68} €.
Exemple : Une réduction de 15 % sur un article à 80 € : la réduction vaut {80 \times \dfrac{15}{100} = 12} €, le nouveau prix est {80-12=68} €.
V. Calculer un pourcentage d'évolution
Méthode
Le taux d'évolution entre une valeur initiale V_i et une valeur finale V_f est {t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}\times 100} (en %). S'il est positif, c'est une augmentation ; négatif, une diminution.
Exemple : Un prix passe de 40 € à 46 € : \begin{aligned}t &= \dfrac{46-40}{40}\times 100 \\ &= 15\end{aligned} %, soit une augmentation de 15 %.
Exemple : Un prix passe de 40 € à 46 € : \begin{aligned}t &= \dfrac{46-40}{40}\times 100 \\ &= 15\end{aligned} %, soit une augmentation de 15 %.
🎮 Entraîne-toi : le pourcentage d'évolution
t = (valeur finale − valeur initiale) divisée par la valeur initiale, × 100.
VI. Coefficient multiplicateur
Méthode
Augmenter de t\,\% revient à multiplier par 1+\dfrac{t}{100}. Diminuer de t\,\% revient à multiplier par 1-\dfrac{t}{100}.
Exemple : Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1{,}2 ; une baisse de 20 % correspond au coefficient 0{,}8.
Exemple : Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1{,}2 ; une baisse de 20 % correspond au coefficient 0{,}8.
VII. Vitesse moyenne
Propriété
La vitesse est proportionnelle à la distance parcourue (à temps fixé) : {v = \dfrac{d}{t}}, d'où d = v \times t et t = \dfrac{d}{v}.
Exemple : 150 km parcourus en 2 h : \begin{aligned}v &= \dfrac{150}{2} \\ &= 75\end{aligned} km/h.
Exemple : 150 km parcourus en 2 h : \begin{aligned}v &= \dfrac{150}{2} \\ &= 75\end{aligned} km/h.
🎮 Entraîne-toi : vitesse, distance, temps
v = d divisée par t, d = v × t, t = d divisée par v (temps en heures).
VIII. Échelles et agrandissements
Propriété
Une échelle (ou un agrandissement/réduction) est une situation de proportionnalité entre les longueurs réelles et les longueurs représentées, de coefficient k.
Exemple : Sur un plan à l'échelle \dfrac{1}{500}, une longueur de 3 cm représente {3\times 500 = 1500} cm, soit 15 m en réalité.
Exemple : Sur un plan à l'échelle \dfrac{1}{500}, une longueur de 3 cm représente {3\times 500 = 1500} cm, soit 15 m en réalité.
IX. Proportionnalité et représentation graphique
Propriété
Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l'origine du repère. Réciproquement, si le graphique est une droite passant par l'origine, la situation est proportionnelle.
Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine du repère.
X. Partage proportionnel
Méthode
Pour partager une quantité N proportionnellement à des nombres a, b, c, on calcule le coefficient {k=\dfrac{N}{a+b+c}}, puis chaque part est ka, kb, kc.
Exemple : Partager 180 € proportionnellement à 2, 3 et 4 : \begin{aligned}k &= \dfrac{180}{9} \\ &= 20\end{aligned} les parts sont 40 €, 60 € et 80 €.
Exemple : Partager 180 € proportionnellement à 2, 3 et 4 : \begin{aligned}k &= \dfrac{180}{9} \\ &= 20\end{aligned} les parts sont 40 €, 60 € et 80 €.
XI. Non-proportionnalité
Remarque
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles même si elles semblent liées : par exemple, l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à son côté (elle l'est à son carré), et un tarif avec abonnement fixe n'est pas proportionnel (c'est une fonction affine, voir la fiche « Fonctions affines »).
XII. Les pièges du chapitre
⚠️ Les pourcentages ne s'additionnent pas
Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène PAS au prix de départ : le coefficient global est {1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96}, soit une baisse de 4 %. De même, deux hausses de 10 % ne font pas +20 % mais 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21, soit +21 %.
⚠️ Convertis les minutes en heures
Dans {v = \dfrac{d}{t}}, le temps doit être en heures : 1 h 30, c'est 1,5 h (et non 1,3 h), car 30 min = 0,5 h. De même 15 min = 0,25 h et 45 min = 0,75 h.
⚠️ Une droite ne suffit pas
Pour la proportionnalité, la droite du graphique doit passer par l'origine du repère. Un tarif avec abonnement fixe donne aussi une droite, mais elle coupe l'axe vertical plus haut : ce n'est pas une situation de proportionnalité.
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Hausse de 25 % : 60 \times 1{,}25 = 75 €.
Baisse de 10 % : 75 \times 0{,}9 = 67{,}50 €. Prix final : 67,50 € (les pourcentages successifs ne s'additionnent pas : ce n'est pas +15 %).
Baisse de 10 % : 75 \times 0{,}9 = 67{,}50 €. Prix final : 67,50 € (les pourcentages successifs ne s'additionnent pas : ce n'est pas +15 %).