Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : Statistiques
Moyenne, médiane et étendue d'une série
I. Vocabulaire
Effectif, fréquence, effectif total
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans une série. La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total (souvent exprimée en %). L'effectif total est la somme de tous les effectifs.
II. Moyenne
Moyenne pondérée
\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}, où x_i sont les valeurs et n_i leurs effectifs.
Exemple : notes 8 (effectif 2), 12 (effectif 3), 15 (effectif 5) : \begin{aligned}\bar x &= \dfrac{8\times2+12\times3+15\times5}{2+3+5} \\ &= \dfrac{127}{10} \\ &= 12{,}7\end{aligned}
Exemple : notes 8 (effectif 2), 12 (effectif 3), 15 (effectif 5) : \begin{aligned}\bar x &= \dfrac{8\times2+12\times3+15\times5}{2+3+5} \\ &= \dfrac{127}{10} \\ &= 12{,}7\end{aligned}
La moyenne, c'est le point d'équilibre
Pose les valeurs sur une planche, puis cherche l'endroit où mettre le pivot pour que tout tienne en équilibre : cet endroit, c'est exactement la moyenne.
Ce que la balance montre : la somme des écarts à gauche est égale à la somme des écarts à droite.
Ce que la balance montre : la somme des écarts à gauche est égale à la somme des écarts à droite.
🎮 Entraîne-toi : la moyenne simple
Additionne toutes les valeurs, puis divise par leur nombre.
🎮 Entraîne-toi : la moyenne pondérée
Multiplie chaque note par son effectif avant d'additionner.
⚠️ La moyenne des moyennes n'est presque jamais la bonne moyenne
Deux groupes de tailles différentes ne pèsent pas pareil. Fais varier les effectifs ci-dessous : le groupe le plus nombreux tire la moyenne de son côté.
Les deux calculs ne se rejoignent que dans un seul cas : quand les deux groupes ont le même effectif.
Les deux calculs ne se rejoignent que dans un seul cas : quand les deux groupes ont le même effectif.
III. Médiane
Médiane
La médiane m_e d'une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : autant de valeurs inférieures ou égales à m_e que de valeurs supérieures ou égales.
Trouver la médiane
On commence toujours par ordonner la série. Si l'effectif total est impair, m_e est la valeur centrale. Si l'effectif total est pair, m_e est le milieu des deux valeurs centrales : m_e = \dfrac{v_1+v_2}{2}.
Exemple : impair : 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 donne m_e = 10. Pair : 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 15 donne \begin{aligned}m_e &= \dfrac{10+11}{2} \\ &= 10{,}5\end{aligned}
Exemple : impair : 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 donne m_e = 10. Pair : 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 15 donne \begin{aligned}m_e &= \dfrac{10+11}{2} \\ &= 10{,}5\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : la médiane
La série est déjà ordonnée : repère la valeur centrale.
IV. Étendue
Étendue
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \text{Étendue} = \text{Max} - \text{Min}.
Exemple : série 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 : étendue =14-8=6.
Exemple : série 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 : étendue =14-8=6.
Lire l'étendue sur un graphique
Sur un graphique, l'étendue se voit : c'est la hauteur qui sépare le point le plus haut du point le plus bas.
Attention à ne pas confondre deux questions différentes : « où la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « où la hausse est-elle la plus forte ? » (le segment le plus raide).
Attention à ne pas confondre deux questions différentes : « où la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « où la hausse est-elle la plus forte ? » (le segment le plus raide).
🎮 Entraîne-toi : l'étendue
Cherche le maximum et le minimum, puis soustrais.
V. Effectifs cumulés croissants
Le tableau des effectifs cumulés
L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à elle. Ce tableau permet de repérer facilement la médiane d'une grande série.
VI. Comparer deux séries statistiques
Position et dispersion
Pour comparer deux séries, on compare leurs indicateurs de position (moyenne, médiane) et leurs indicateurs de dispersion (étendue) : une série plus « resserrée » a une étendue plus petite.
⚠️ Un indicateur seul ne dit pas tout
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et pourtant n'avoir rien à voir : l'une resserrée, l'autre très étalée. C'est l'étendue qui les sépare.
Pour comparer honnêtement deux séries, on donne donc toujours au moins deux indicateurs : un de position et un de dispersion.
Pour comparer honnêtement deux séries, on donne donc toujours au moins deux indicateurs : un de position et un de dispersion.
VII. Lire un diagramme (barres, circulaire)
Barres et secteurs
Pour lire un diagramme en barres, la hauteur de chaque barre donne l'effectif (ou la fréquence) de la valeur correspondante. Pour un diagramme circulaire, l'angle de chaque secteur est proportionnel à sa fréquence.
Exemple : un secteur représentant 25 % d'un diagramme circulaire a un angle de 25\,\%\times 360^{\circ} = 90^{\circ}.
Exemple : un secteur représentant 25 % d'un diagramme circulaire a un angle de 25\,\%\times 360^{\circ} = 90^{\circ}.
Trois représentations, une seule série
Un tableau, un diagramme en barres et un diagramme circulaire ne disent pas trois choses différentes : ils disent la même chose, autrement.
Règle le curseur d'un effectif et regarde : la barre, le secteur et les trois lignes du tableau bougent en même temps.
Règle le curseur d'un effectif et regarde : la barre, le secteur et les trois lignes du tableau bougent en même temps.
D'où vient l'angle d'un secteur ?
Le disque entier vaut 360° et représente l'effectif total. Chaque secteur reçoit donc une part proportionnelle à son effectif :
\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}.
Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}.
Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
🎮 Entraîne-toi : l'angle du secteur
Calcule l'angle en degrés (résultat entier).
°
VIII. Choisir le bon indicateur
Moyenne ou médiane ?
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (elle peut être « tirée » par une valeur très grande ou très petite), contrairement à la médiane qui reste stable : selon le contexte, l'un ou l'autre indicateur est plus pertinent.
L'expérience à faire une fois pour toutes
Tire la valeur la plus grande vers la droite de l'axe, le plus loin possible, et surveille les deux repères sous l'axe :
la moyenne (en vert) part avec elle, la médiane (en orange) ne bouge presque pas.
C'est pour cela qu'on annonce le salaire médian et pas le salaire moyen : quelques très hauts salaires suffiraient à tirer la moyenne vers le haut sans que personne ne gagne davantage.
la moyenne (en vert) part avec elle, la médiane (en orange) ne bouge presque pas.
C'est pour cela qu'on annonce le salaire médian et pas le salaire moyen : quelques très hauts salaires suffiraient à tirer la moyenne vers le haut sans que personne ne gagne davantage.
IX. Construire une série à partir d'un diagramme
Du diagramme au tableau
Pour reconstituer une série statistique à partir d'un diagramme en barres, on relève l'effectif de chaque valeur, puis on peut calculer effectif total, moyenne, médiane et étendue comme pour un tableau classique.
X. Les pièges du chapitre
⚠️ La moyenne pondérée n'oublie personne
On divise par l'effectif total (la somme des effectifs), jamais par le nombre de valeurs différentes. Avec les notes 8 (effectif 2), 12 (effectif 3) et 15 (effectif 5), on divise 127 par 10 (les 10 notes), pas par 3 !
⚠️ Ordonner AVANT de chercher la médiane
La médiane se lit sur la série rangée dans l'ordre croissant : sans ce classement, la valeur « du milieu » de la liste brute n'a aucun sens. Et attention : médiane et moyenne sont deux indicateurs différents, qui n'ont aucune raison d'être égaux.
👆 ▶ À toi : série 9 ; 13 ; 8 ; 15 ; 10. Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue. Vérifie
Moyenne : \begin{aligned}\dfrac{9+13+8+15+10}{5} &= \dfrac{55}{5} \\ &= \mathbf{11}\end{aligned}
Médiane : on ordonne d'abord : 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 15. Cinq valeurs (impair) : m_e = \mathbf{10}.
Étendue : 15 - 8 = \mathbf{7}.
Médiane : on ordonne d'abord : 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 15. Cinq valeurs (impair) : m_e = \mathbf{10}.
Étendue : 15 - 8 = \mathbf{7}.