Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Calcul littéral
Réduire, distribuer (simple et double), factoriser, substituer
I. Réduire une expression
Réduire, c'est regrouper
Réduire une expression littérale, c'est la réécrire plus court en regroupant les termes de même nature : les termes en x^2 ensemble, les termes en x ensemble, et les nombres seuls ensemble.
On n'additionne que ce qui se ressemble : 3x + 5x = 8x, mais 3x + 5 ne se réduit pas (un « x » et un nombre seul ne se mélangent pas).
On n'additionne que ce qui se ressemble : 3x + 5x = 8x, mais 3x + 5 ne se réduit pas (un « x » et un nombre seul ne se mélangent pas).
7x + 4 − 2x + 9 = 7x − 2x + 4 + 9 = 5x + 13
⚠️ x et x² ne se regroupent pas
x^2 + x reste x^2 + x : ce ne sont pas des termes de même nature. De même, 4x^2 + 3x^2 = 7x^2 (et surtout pas 7x^4 ).
👆 ▶ À toi : réduis 6x² + 2x − 4x² + 3x, puis vérifie
6x^2 - 4x^2 = 2x^2 et 2x + 3x = 5x.
Donc 6x^2 + 2x - 4x^2 + 3x = \mathbf{2x^2 + 5x}.
Donc 6x^2 + 2x - 4x^2 + 3x = \mathbf{2x^2 + 5x}.
🎮 Entraîne-toi : réduire
Regroupe les termes en x ensemble, et les nombres seuls ensemble.
II. La distributivité simple
Propriété
Pour tous nombres k, a, b : {k(a + b) = ka + kb} et k(a - b) = ka - kb.
Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur.
Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur.
⚠️ Un facteur négatif change tous les signes
Quand le facteur est négatif, il change le signe de chaque terme : {-2(3x - 5) = -6x + 10} (car -2 \times (-5) = +10).
Erreur classique : oublier le signe sur le deuxième terme.
Erreur classique : oublier le signe sur le deuxième terme.
3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15
Pourquoi ça marche : la distributivité, c'est une aire
Un produit de deux longueurs, c'est l'aire d'un rectangle. Découper le rectangle en morceaux ne change pas son aire : c'est exactement ce que dit la distributivité.
Mission :
Ce qu'il faut retenir de la figure
L'aire du grand rectangle se compte de deux façons : k\times(a+b) d'un seul coup,
ou k\times a + k\times b morceau par morceau. Comme c'est la même aire, les deux écritures sont égales.
C'est aussi pour cela que k doit multiplier chaque terme : les deux morceaux ont la même hauteur k.
C'est aussi pour cela que k doit multiplier chaque terme : les deux morceaux ont la même hauteur k.
👆 ▶ À toi : développe −4(2x − 3), puis vérifie
-4 \times 2x = -8x et -4 \times (-3) = +12.
Donc -4(2x - 3) = \mathbf{-8x + 12}.
Donc -4(2x - 3) = \mathbf{-8x + 12}.
🎮 Entraîne-toi : la distributivité simple
Multiplie le facteur par CHAQUE terme (attention aux signes).
III. La double distributivité (le cœur du chapitre)
Propriété
Pour développer un produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : {(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd}.
Quatre produits, puis on réduit.
Quatre produits, puis on réduit.
Un exemple complet
(x + 3)(2x - 1) donne les quatre produits x \times 2x, x \times (-1), 3 \times 2x, {3 \times (-1)} :
\begin{aligned}(x + 3)(2x - 1) &= 2x^2 - x + 6x - 3 \\ &= \mathbf{2x^2 + 5x - 3}\end{aligned}
\begin{aligned}(x + 3)(2x - 1) &= 2x^2 - x + 6x - 3 \\ &= \mathbf{2x^2 + 5x - 3}\end{aligned}
Un appui visuel : l'aire
Un rectangle de côtés (a + b) et (c + d) se découpe en quatre petits rectangles d'aires ac, ad, bc, bd : leur somme est l'aire totale, d'où la formule.
La bonne question à se poser
« Ai-je bien quatre produits ? » Un produit oublié, c'est un morceau de rectangle oublié.
Quand un terme est négatif, la figure ne se dessine plus (une longueur ne peut pas être négative) : on garde la règle, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, en appliquant la règle des signes à chacun des quatre produits.
Quand un terme est négatif, la figure ne se dessine plus (une longueur ne peut pas être négative) : on garde la règle, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, en appliquant la règle des signes à chacun des quatre produits.
👆 ▶ À toi : développe et réduis (x − 2)(x − 6), puis vérifie
\begin{aligned}(x - 2)(x - 6) &= x^2 - 6x - 2x + 12 \\ &= \mathbf{x^2 - 8x + 12}\end{aligned}
Astuce : pour x = 0, l'expression de départ vaut (-2)(-6) = 12, et le résultat aussi. Bon signe !
Astuce : pour x = 0, l'expression de départ vaut (-2)(-6) = 12, et le résultat aussi. Bon signe !
🎮 Entraîne-toi : la double distributivité
Les deux termes en x se regroupent : additionne-les.
IV. Factoriser : le facteur commun
Factoriser, c'est l'opération inverse
Factoriser une somme, c'est la transformer en produit. On repère un facteur commun à tous les termes, puis on le met en évidence : {ka + kb = k(a + b)}.
Deux situations utiles
Facteur commun un nombre : \begin{aligned}6x + 9 &= 3 \times 2x + 3 \times 3 \\ &= 3(2x + 3)\end{aligned} (on sort le plus grand facteur commun).
Facteur commun avec un x : \begin{aligned}3x^2 - 9x &= 3x \times x - 3x \times 3 \\ &= 3x(x - 3)\end{aligned}
Facteur commun avec un x : \begin{aligned}3x^2 - 9x &= 3x \times x - 3x \times 3 \\ &= 3x(x - 3)\end{aligned}
Un facteur commun entre parenthèses
Parfois le facteur commun est une parenthèse entière : dans {7x(x + 2) - 3(x + 2)}, le facteur commun est (x + 2), donc 7x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(7x - 3).
👆 ▶ À toi : factorise 10x + 15, puis vérifie en développant
Le plus grand facteur commun de 10 et 15 est 5 : 10x + 15 = 5(2x + 3).
Vérification : 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15. ✔
Vérification : 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15. ✔
🎮 Entraîne-toi : factoriser (facteur commun)
Choisis la bonne factorisation (le plus grand facteur commun).
V. Substituer une valeur, tester une égalité
Substituer, c'est remplacer
Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace la lettre par sa valeur (entre parenthèses si elle est négative), puis on calcule avec les priorités.
Exemple : 2x^2 - x pour x = 3 vaut \begin{aligned}2 \times 3^2 - 3 &= 2 \times 9 - 3 \\ &= 15\end{aligned}
Exemple : 2x^2 - x pour x = 3 vaut \begin{aligned}2 \times 3^2 - 3 &= 2 \times 9 - 3 \\ &= 15\end{aligned}
Tester une égalité
Pour vérifier si une égalité est vraie pour une valeur donnée, on calcule séparément chaque membre puis on compare.
Exemple : x^2 + 2x + 1 et (x + 1)^2 pour x = -1 : le premier vaut 1 - 2 + 1 = 0, le second 0^2 = 0. Ils coïncident pour cette valeur.
Exemple : x^2 + 2x + 1 et (x + 1)^2 pour x = -1 : le premier vaut 1 - 2 + 1 = 0, le second 0^2 = 0. Ils coïncident pour cette valeur.
👆 ▶ À toi : calcule x² − 4x + 4 pour x = 2, puis vérifie
\begin{aligned}2^2 - 4 \times 2 + 4 &= 4 - 8 + 4 \\ &= \mathbf{0}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : substituer une valeur
Remplace x par sa valeur (parenthèses si négatif), puis calcule.
VI. Les pièges du chapitre
⚠️ 3 + 2x ne fait pas 5x
On ne peut additionner 3 et 2x : un nombre seul et un terme en x ne sont pas de même nature.
⚠️ Le signe devant la parenthèse
Dans 5 - 2(x - 3), le -2 multiplie tout : 5 - 2x + 6 = -2x + 11 (et non {5 - 2x - 6}).
Et un - tout seul devant une parenthèse, c'est un -1 : {-(a-b) = -a+b}.
Et un - tout seul devant une parenthèse, c'est un -1 : {-(a-b) = -a+b}.
Le piège des signes : le moins retourne tout
Le signe - devant une parenthèse multiplie chaque terme par -1, donc il retourne chaque signe. Le premier terme n'a rien de spécial : l'erreur est justement de ne retourner que lui.
🎮 Entraîne-toi : le moins devant la parenthèse
Choisis la bonne écriture, sans parenthèse.
👆 ▶ À toi : développe et réduis 5(x − 2) + 3(x + 1), puis vérifie
5x - 10 + 3x + 3 = \mathbf{8x - 7}.