Fiche d'exercices Logimaths | 4ème
Fiche d'exercices : Calcul littéral
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Réduire⭐
Réduis chaque expression :
- 7x + 4 - 2x + 9
- 5x^2 + 3x - 2x^2 + x
- 8 - 3x + 2x - 5
- x^2 + 6x - x^2 + 2
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. (7x - 2x) + (4 + 9) = \mathbf{5x + 13}.
2. (5x^2 - 2x^2) + (3x + x) = \mathbf{3x^2 + 4x}.
3. (-3x + 2x) + (8 - 5) = \mathbf{-x + 3}.
4. (x^2 - x^2) + 6x + 2 = \mathbf{6x + 2} (les x^2 disparaissent).
2. (5x^2 - 2x^2) + (3x + x) = \mathbf{3x^2 + 4x}.
3. (-3x + 2x) + (8 - 5) = \mathbf{-x + 3}.
4. (x^2 - x^2) + 6x + 2 = \mathbf{6x + 2} (les x^2 disparaissent).
Exercice 2 : Distributivité simple⭐
Développe (attention aux signes) :
- 4(3x + 2)
- 5(2x - 3)
- -2(3x - 4)
- -(x - 7)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 4 \times 3x + 4 \times 2 = \mathbf{12x + 8}.
2. 5 \times 2x - 5 \times 3 = \mathbf{10x - 15}.
3. -2 \times 3x + (-2) \times (-4) = \mathbf{-6x + 8}.
4. -(x - 7) = \mathbf{-x + 7} (le signe change chaque terme).
2. 5 \times 2x - 5 \times 3 = \mathbf{10x - 15}.
3. -2 \times 3x + (-2) \times (-4) = \mathbf{-6x + 8}.
4. -(x - 7) = \mathbf{-x + 7} (le signe change chaque terme).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Double distributivité⭐⭐
Développe et réduis :
- A = (x + 3)(x + 5)
- B = (2x - 1)(x + 4)
- C = (x - 2)(x - 6)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}A &= x^2 + 5x + 3x + 15 \\ &= \mathbf{x^2 + 8x + 15}\end{aligned}
2. \begin{aligned}B &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\ &= \mathbf{2x^2 + 7x - 4}\end{aligned}
3. \begin{aligned}C &= x^2 - 6x - 2x + 12 \\ &= \mathbf{x^2 - 8x + 12}\end{aligned}
2. \begin{aligned}B &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\ &= \mathbf{2x^2 + 7x - 4}\end{aligned}
3. \begin{aligned}C &= x^2 - 6x - 2x + 12 \\ &= \mathbf{x^2 - 8x + 12}\end{aligned}
Exercice 4 : Développer puis réduire⭐⭐
Développe chaque expression, puis réduis :
- 5(x - 2) + 3(x + 1)
- 4(x + 1) - 3(x - 2)
- 2(3x - 1) - (x - 5)
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 5x - 10 + 3x + 3 = \mathbf{8x - 7}.
2. 4x + 4 - 3x + 6 = \mathbf{x + 10}.
3. 6x - 2 - x + 5 = \mathbf{5x + 3} (bien changer les deux signes de -(x - 5)).
2. 4x + 4 - 3x + 6 = \mathbf{x + 10}.
3. 6x - 2 - x + 5 = \mathbf{5x + 3} (bien changer les deux signes de -(x - 5)).
Exercice 5 : Factoriser par un facteur commun⭐⭐
Factorise chaque expression :
- D = 5x + 5y
- E = 6x + 9
- F = 3x^2 - 9x
- G = 7x(x + 2) - 3(x + 2)
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Facteur commun 5 : D = \mathbf{5(x + y)}.
2. Plus grand facteur commun de 6 et 9 : 3, donc E = \mathbf{3(2x + 3)}.
3. Facteur commun 3x : \begin{aligned}F &= 3x \times x - 3x \times 3 \\ &= \mathbf{3x(x - 3)}\end{aligned}
4. Facteur commun (x + 2) : {G = \mathbf{(x + 2)(7x - 3)}}.
2. Plus grand facteur commun de 6 et 9 : 3, donc E = \mathbf{3(2x + 3)}.
3. Facteur commun 3x : \begin{aligned}F &= 3x \times x - 3x \times 3 \\ &= \mathbf{3x(x - 3)}\end{aligned}
4. Facteur commun (x + 2) : {G = \mathbf{(x + 2)(7x - 3)}}.
Exercice 6 : Périmètre et aire en fonction de x⭐⭐
Un rectangle a pour largeur x et pour longueur x + 4 (en cm) :
- Exprime son périmètre en fonction de x, réduit au maximum.
- Exprime son aire en fonction de x, sous forme développée.
- Calcule les deux pour x = 5.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}P &= x + (x + 4) + x + (x + 4) \\ &= \mathbf{4x + 8}\end{aligned}
2. \begin{aligned}\mathcal{A} &= x(x + 4) \\ &= \mathbf{x^2 + 4x}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P &= 4 \times 5 + 8 \\ &= 28\end{aligned} cm et \begin{aligned}\mathcal{A} &= 5^2 + 4 \times 5 \\ &= 45\end{aligned} cm².
2. \begin{aligned}\mathcal{A} &= x(x + 4) \\ &= \mathbf{x^2 + 4x}\end{aligned}
3. \begin{aligned}P &= 4 \times 5 + 8 \\ &= 28\end{aligned} cm et \begin{aligned}\mathcal{A} &= 5^2 + 4 \times 5 \\ &= 45\end{aligned} cm².
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Programme de calcul et mise en équation⭐⭐⭐
Programme : choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 5 au résultat.
- Applique le programme au nombre 4, puis au nombre −2.
- Écris l'expression du résultat en fonction du nombre choisi x.
- On veut obtenir 20. Écris l'équation à résoudre (sans la résoudre).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. 4 \times 3 + 5 = 17 ; (-2) \times 3 + 5 = -1.
2. \mathbf{3x + 5}.
3. L'équation est \mathbf{3x + 5 = 20} (sa résolution est l'objet du chapitre Équations).
2. \mathbf{3x + 5}.
3. L'équation est \mathbf{3x + 5 = 20} (sa résolution est l'objet du chapitre Équations).
Exercice 8 : Tester une égalité⭐⭐⭐
- Léa affirme que (x + 3)(x - 3) et x^2 - 9 sont égales. Teste avec x = 2, puis x = 5. Qu'observes-tu ?
- Vérifie ton observation en développant (x + 3)(x - 3) par la double distributivité.
- Théo écrit 5(x + 2) = 5x + 2. Teste avec x = 1 : a-t-il raison ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. x = 2 : (5)(-1) = -5 et 2^2 - 9 = -5 ✔. x = 5 : (8)(2) = 16 et 5^2 - 9 = 16 ✔. Les deux semblent toujours égales.
2. \begin{aligned}(x + 3)(x - 3) &= x^2 - 3x + 3x - 9 \\ &= x^2 - 9\end{aligned} Les termes en x se compensent, l'égalité est bien vraie pour toute valeur.
3. x = 1 : 5 \times 3 = 15 mais 5 \times 1 + 2 = 7. C'est faux : Théo a oublié de multiplier le 2. La bonne écriture est 5x + 10.
2. \begin{aligned}(x + 3)(x - 3) &= x^2 - 3x + 3x - 9 \\ &= x^2 - 9\end{aligned} Les termes en x se compensent, l'égalité est bien vraie pour toute valeur.
3. x = 1 : 5 \times 3 = 15 mais 5 \times 1 + 2 = 7. C'est faux : Théo a oublié de multiplier le 2. La bonne écriture est 5x + 10.