Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Cosinus
Le cosinus d'un angle aigu dans le triangle rectangle
I. Vocabulaire dans le triangle rectangle
Adjacent, opposé, hypoténuse
Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu donné : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long côté), le côté adjacent est le côté de l'angle qui n'est pas l'hypoténuse, et le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle.
⚠️ Adjacent et opposé changent avec l'angle
Un même côté peut être adjacent à un angle et opposé à l'autre : il faut toujours dire « adjacent à quel angle ». Seule l'hypoténuse ne bouge jamais (elle fait toujours face à l'angle droit).
II. Le cosinus d'un angle aigu
Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse :
\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA
On retient les trois rapports par SOH-CAH-TOA. En 4ème, seul le C nous concerne :
CAH = Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.
Les deux autres (SOH pour le sinus, TOA pour la tangente) seront vus en 3ème.
CAH = Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.
Les deux autres (SOH pour le sinus, TOA pour la tangente) seront vus en 3ème.
⚠️ Le cosinus est un nombre entre 0 et 1
Le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse : le cosinus d'un angle aigu est donc toujours compris entre 0 et 1. Un résultat plus grand que 1 signale une erreur (adjacent et hypoténuse inversés).
👆 ▶ À toi : ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et l'hypoténuse BC = 5 cm. Que vaut le cosinus de l'angle en B ? Vérifie
Par rapport à l'angle en B, le côté adjacent est [AB] et l'hypoténuse est [BC] : \begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{4}{5} \\ &= \mathbf{0{,}8}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : calculer un cosinus
Cosinus = adjacent / hypoténuse. Donne le résultat en écriture décimale.
🎮 Entraîne-toi : repérer le côté adjacent
Le côté adjacent est le côté de l'angle qui n'est pas l'hypoténuse.
III. Calculer une longueur avec le cosinus
Repérer les côtés, puis isoler
On identifie, par rapport à l'angle connu, le côté adjacent et l'hypoténuse, on écrit la formule du cosinus, puis on isole la longueur cherchée.
Pour le côté adjacent : \text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle}).
Pour l'hypoténuse : {\text{hypoténuse} = \dfrac{\text{adjacent}}{\cos(\text{angle})}}.
Pour le côté adjacent : \text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle}).
Pour l'hypoténuse : {\text{hypoténuse} = \dfrac{\text{adjacent}}{\cos(\text{angle})}}.
Exemple
Triangle rectangle en B, angle \widehat{A}=40^{\circ}, hypoténuse AC = 10 cm. Le côté AB est adjacent à \widehat{A} :
\cos(40^{\circ}) = \dfrac{AB}{10}, donc \begin{aligned}AB &= 10 \times \cos(40^{\circ}) \\ &\approx 10 \times 0{,}766 \\ &\approx \mathbf{7{,}7}\end{aligned} cm (arrondi au dixième de cm).
\cos(40^{\circ}) = \dfrac{AB}{10}, donc \begin{aligned}AB &= 10 \times \cos(40^{\circ}) \\ &\approx 10 \times 0{,}766 \\ &\approx \mathbf{7{,}7}\end{aligned} cm (arrondi au dixième de cm).
🎮 Entraîne-toi : calculer une longueur
Côté adjacent = hypoténuse × cosinus de l'angle.
cm
IV. Calculer un angle avec le cosinus
Le rapport, puis la touche cos⁻¹
Quand on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on calcule d'abord le rapport \cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, puis on utilise la touche \cos^{-1} (ou arccos) de la calculatrice pour retrouver l'angle.
Sur la calculatrice : souvent \boxed{\text{2nde}} puis \boxed{\cos}, en vérifiant que la calculatrice est en mode degrés.
Sur la calculatrice : souvent \boxed{\text{2nde}} puis \boxed{\cos}, en vérifiant que la calculatrice est en mode degrés.
Exemple
Triangle rectangle en A, AB = 6 cm, hypoténuse BC = 12 cm.
\begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{6}{12} \\ &= 0{,}5\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{B} &= \cos^{-1}(0{,}5) \\ &= \mathbf{60^{\circ}}\end{aligned}
\begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{6}{12} \\ &= 0{,}5\end{aligned} donc \begin{aligned}\widehat{B} &= \cos^{-1}(0{,}5) \\ &= \mathbf{60^{\circ}}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : calculer un angle
cos(angle) = adjacent / hypoténuse, puis touche cos⁻¹. Arrondis au degré.
°
V. Erreurs classiques à éviter
⚠️ Un triangle rectangle, sinon rien
La formule \cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} n'a de sens que dans un triangle rectangle (sans angle droit, il n'y a pas d'hypoténuse).
⚠️ Le bon côté avec le bon angle
Le côté adjacent dépend de l'angle choisi : avant d'écrire la fraction, on repère bien quel côté touche l'angle sans être l'hypoténuse.
⚠️ Longueur ou angle ?
Pour trouver une longueur, on multiplie (ou on divise) par \cos(\text{angle}). Pour trouver un angle, on utilise la touche \cos^{-1} sur le rapport des deux longueurs : ce n'est pas la même touche.