Exercice 1 : Vocabulaire et formule⭐ABC est un triangle rectangle en A.
Quel côté est l'hypoténuse ?
Par rapport à l'angle en B, quel côté est adjacent ?
Rappeler la formule du cosinus de l'angle en B.
👆▶ Correction de l'exercice 1
a) L'hypoténuse est [BC] (le côté opposé à l'angle droit en A). b) Le côté adjacent à l'angle en B est [AB] (il touche l'angle en B sans être l'hypoténuse). c)\begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \\ &= \dfrac{AB}{BC}\end{aligned}
Exercice 2 : Calculer un cosinus⭐ABC est un triangle rectangle en A, avec AB=8 cm et l'hypoténuse {BC=10} cm.
Calculer \cos(\widehat{B}).
Le cosinus d'un angle aigu peut-il être plus grand que 1 ? Justifier.
👆▶ Correction de l'exercice 2
a)\begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{8}{10} \\ &= \mathbf{0{,}8}\end{aligned} b) Non : le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, donc le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Calculer une longueur (côté adjacent)⭐⭐ABC est un triangle rectangle en A. L'angle en B mesure 60° et l'hypoténuse {BC=10} cm.Triangle ABC rectangle en A. On connaît l'angle en B et l'hypoténuse BC.
Rappeler la formule du cosinus dans un triangle rectangle.
Quel côté est adjacent à l'angle en B ? Quelle est l'hypoténuse ?
Calculer la longueur AB.
👆▶ Correction de l'exercice 3
a)\cos(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}. b) Le côté adjacent à l'angle en B est [AB] ; l'hypoténuse est [BC]. c)\begin{aligned}\cos(60°) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &\Rightarrow AB = BC \times \cos(60°) \\ &\Rightarrow AB = 10 \times 0{,}5 \\ &\Rightarrow AB = \mathbf{5}\end{aligned} cm.
Exercice 4 : Calculer un angle⭐⭐ABC est un triangle rectangle en A, avec AB=6 cm et BC=12 cm.
Calculer \cos(\widehat{B}).
En déduire la mesure de l'angle \widehat{B} (touche \cos^{-1} de la calculatrice).
Calculer la mesure de l'angle \widehat{C}.
👆▶ Correction de l'exercice 4
a)\begin{aligned}\cos(\widehat{B}) &= \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{6}{12} \\ &= \mathbf{0{,}5}\end{aligned} b)\begin{aligned}\widehat{B} &= \cos^{-1}(0{,}5) \\ &= \mathbf{60°}\end{aligned} c) La somme des angles du triangle vaut 180°, avec un angle droit en A : \begin{aligned}\widehat{C} &= 180° - 90° - 60° \\ &= \mathbf{30°}\end{aligned}
Exercice 5 : Calculer l'hypoténuse⭐⭐DEF est un triangle rectangle en D. L'angle en E mesure 35° et le côté adjacent DE=7 cm.
Écrire \cos(35°) sous forme de fraction avec DE et EF.
En déduire la longueur de l'hypoténuse EF (arrondir au dixième de cm, \cos(35°) \approx 0{,}819).
👆▶ Correction de l'exercice 5
a) Par rapport à l'angle en E, [DE] est le côté adjacent et [EF] l'hypoténuse : \begin{aligned}\cos(35°) &= \dfrac{DE}{EF} \\ &= \dfrac{7}{EF}\end{aligned} b)\begin{aligned}EF &= \dfrac{7}{\cos(35°)} \\ &\approx \dfrac{7}{0{,}819} \\ &\approx \mathbf{8{,}5}\end{aligned} cm.
Exercice 6 : Le panneau incliné⭐⭐
Un panneau rectangulaire est incliné et forme un angle de 30° avec le sol horizontal. Le panneau mesure 2 m de long.
Faire un schéma : on modélise par un triangle rectangle dont le panneau est l'hypoténuse et sa projection au sol le côté adjacent à l'angle de 30°.
Calculer la largeur au sol occupée par le panneau (arrondir au centième de mètre, {\cos(30°) \approx 0{,}866}).
👆▶ Correction de l'exercice 6
a) Le triangle rectangle a pour hypoténuse le panneau (2 m) et pour côté adjacent à l'angle de 30° la largeur au sol cherchée. b) largeur {= 2 \times \cos(30°) \approx 2 \times 0{,}866 \approx \mathbf{1{,}73}} m.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : L'échelle contre le mur⭐⭐⭐
Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1{,}2 m du mur.
On modélise par un triangle rectangle : l'échelle est l'hypoténuse, la distance au mur est le côté adjacent à l'angle formé avec le sol. Calculer le cosinus de cet angle.
En déduire la mesure de l'angle que fait l'échelle avec le sol (arrondir au degré).
👆▶ Correction de l'exercice 7
a)\begin{aligned}\cos(\text{angle}) &= \dfrac{1{,}2}{4} \\ &= \mathbf{0{,}3}\end{aligned} b)\text{angle} = \cos^{-1}(0{,}3) \approx \mathbf{72{,}5°} (soit environ 73° arrondi au degré).
Exercice 8 : Deux calculs enchaînés⭐⭐⭐MNP est un triangle rectangle en M. L'angle en N mesure 50° et l'hypoténuse NP=9 cm.
Calculer la longueur MN (arrondir au dixième de cm, {\cos(50°) \approx 0{,}643}).
Calculer la mesure de l'angle en P.
Vérification : calculer le rapport \dfrac{MN}{NP} et comparer à \cos(50°).
👆▶ Correction de l'exercice 8
a)[MN] est adjacent à l'angle en N : \begin{aligned}MN &= NP \times \cos(50°) \\ &\approx 9 \times 0{,}643 \\ &\approx \mathbf{5{,}8}\end{aligned} cm. b) La somme des angles vaut 180°, avec l'angle droit en M : \begin{aligned}\widehat{P} &= 180° - 90° - 50° \\ &= \mathbf{40°}\end{aligned} c)\begin{aligned}\dfrac{MN}{NP} &\approx \dfrac{5{,}8}{9} \\ &\approx 0{,}644\end{aligned} ce qui correspond bien à {\cos(50°) \approx 0{,}643} (petit écart dû à l'arrondi de MN) : le calcul est cohérent.
