Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Divisibilité et nombres premiers
Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers
I. Rappels : diviseurs et critères
Diviseur, multiple, divisible
Quand une division tombe juste (reste zéro), comme 63 = 9 × 7 :
- 9 et 7 sont des diviseurs de 63 ;
- 63 est un multiple de 9 et de 7 ;
- 63 est divisible par 9 et par 7.
Les critères, pour aller vite sans poser la division
Ils repèrent d'un coup d'œil par quoi un nombre est divisible : indispensables pour démarrer une décomposition.
| Divisible par… | On regarde… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le chiffre des unités (0, 2, 4, 6, 8) | 574 ✔ |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres (dans la table de 4) | 1 316 → 16 = 4 × 4 ✔ |
| 5 | le chiffre des unités (0 ou 5) | 835 ✔ |
| 10 | le chiffre des unités (0) | 1 260 ✔ |
| 3 | la somme des chiffres (dans la table de 3) | 741 → 7 + 4 + 1 = 12 ✔ |
| 9 | la somme des chiffres (dans la table de 9) | 738 → 7 + 3 + 8 = 18 ✔ |
⚠️ Divisible par 3 n'est pas divisible par 9
741 : somme des chiffres 12, dans la table de 3 mais pas de 9. Donc 741 est divisible par 3 mais pas par 9. L'inverse est toujours vrai : divisible par 9 entraîne divisible par 3.
⚠️ Pair ne veut pas dire divisible par 4
Pour 4, le chiffre des unités ne suffit pas : il faut regarder les deux derniers chiffres.
514 : pair, mais 14 n'est pas dans la table de 4, donc 514 n'est pas divisible par 4.
516 : 16 = 4 × 4, donc 516 est divisible par 4. Comme pour 9 et 3, l'inverse est toujours vrai : divisible par 4 entraîne divisible par 2.
514 : pair, mais 14 n'est pas dans la table de 4, donc 514 n'est pas divisible par 4.
516 : 16 = 4 × 4, donc 516 est divisible par 4. Comme pour 9 et 3, l'inverse est toujours vrai : divisible par 4 entraîne divisible par 2.
👆 ▶ À toi : 2 340 est-il divisible par 2 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ? Puis vérifie
Il finit par 0 : divisible par 2, par 5 et par 10.
Deux derniers chiffres : 40 = 4 × 10 : divisible par 4 aussi.
Somme des chiffres : 2 + 3 + 4 + 0 = 9 : divisible par 9. Carton plein !
Deux derniers chiffres : 40 = 4 × 10 : divisible par 4 aussi.
Somme des chiffres : 2 + 3 + 4 + 0 = 9 : divisible par 9. Carton plein !
🎮 Entraîne-toi : les critères de divisibilité
Allume TOUS les diviseurs du nombre parmi les six proposés, puis valide.
II. Les nombres premiers
Définition
Un nombre entier est premier s'il est plus grand que 1 et n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
1 n'est pas premier (un seul diviseur), et la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais.
1 n'est pas premier (un seul diviseur), et la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais.
les premiers jusqu'à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Nombre premier
23
diviseurs : 1 et 23, et c'est tout
Nombre composé
24
24 = 2 × 2 × 2 × 3, plein de diviseurs
Tester si un nombre est premier
On essaie de le diviser par les premiers 2, 3, 5, 7… tant que le carré du diviseur ne dépasse pas le nombre. Aucun ne tombe juste ? Il est premier.
Pour 149 : pas pair, 1 + 4 + 9 = 14 (pas par 3), ne finit pas par 0 ou 5, 149 = 7 × 21 + 2, 149 = 11 × 13 + 6 ; 13² = 169 > 149 : on s'arrête, 149 est premier.
Pour 149 : pas pair, 1 + 4 + 9 = 14 (pas par 3), ne finit pas par 0 ou 5, 149 = 7 × 21 + 2, 149 = 11 × 13 + 6 ; 13² = 169 > 149 : on s'arrête, 149 est premier.
👆 ▶ À toi : 51 est-il premier ? Puis vérifie
Somme des chiffres : 5 + 1 = 6, dans la table de 3 : donc 51 = 3 × 17.
Non, 51 n'est pas premier : il avait pourtant la tête de l'emploi !
Non, 51 n'est pas premier : il avait pourtant la tête de l'emploi !
🎮 Entraîne-toi : premier ou pas ?
Ce nombre est-il premier ? (Pense aux critères de divisibilité.)
III. Décomposer en produit de facteurs premiers
Le grand résultat
Tout entier plus grand que 1 s'écrit d'une seule façon comme un produit de nombres premiers (à l'ordre près des facteurs). C'est sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Méthode des divisions successives
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le résultat, jusqu'à tomber sur 1 :
602
302
153
55
1
60=2 × 2 × 3 × 5
=2^2 \times 3 \times 5
⚠️ On s'arrête aux nombres premiers
Écrire 60 = 4 × 15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers : 4 et 15 ne sont pas premiers. Il faut continuer : 4 = 2 × 2 et 15 = 3 × 5.
👆 ▶ À toi : décompose 84 en produit de facteurs premiers, puis vérifie
84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21, 21 : 3 = 7, 7 est premier.
Donc 84 = 2^2 \times 3 \times 7.
Donc 84 = 2^2 \times 3 \times 7.
🎮 Entraîne-toi : le premier facteur
Par quel plus petit nombre premier commence la décomposition ?
plus petit facteur premier :
IV. Se servir de la décomposition
Simplifier une fraction
On décompose le haut et le bas, puis on barre les facteurs communs (un en haut contre un en bas). Ce qui reste est la fraction irréductible :
\begin{aligned}\dfrac{60}{84} &= \dfrac{2 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 7} \\ &= \dfrac{5}{7}\end{aligned}
Retrouver TOUS les diviseurs
Les diviseurs se fabriquent en combinant les facteurs premiers. Pour 12 = 2^2 \times 3 : 1, 2, 4 (avec les 2), puis 3, 6, 12 (en ajoutant le 3). Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
👆 ▶ À toi : simplifie 36/48 en passant par les décompositions, puis vérifie
36 = 2^2 \times 3^2 et 48 = 2^4 \times 3.
Facteurs communs barrés : 2^2 \times 3 = 12.
\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}.
Facteurs communs barrés : 2^2 \times 3 = 12.
\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}.
🎮 Entraîne-toi : rendre une fraction irréductible
Écris la fraction sous sa forme la plus simple (haut, puis bas).
sur