Fiche d'exercices Logimaths | 4ème
Fiche d'exercices : Divisibilité et nombres premiers
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Premier ou pas premier ?⭐
Pour chaque nombre, dis s'il est premier. S'il ne l'est pas, donne un diviseur autre que 1 et lui-même :
- 29
- 51
- 57
- 83
- 91
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
29 : pas pair, 2 + 9 = 11 (pas par 3), ne finit pas par 5 ; 5² = 25 < 29 mais 7² = 49 > 29, aucun diviseur trouvé : premier.
51 : 5 + 1 = 6, divisible par 3 : 51 = 3 × 17, pas premier.
57 : 5 + 7 = 12, divisible par 3 : 57 = 3 × 19, pas premier.
83 : pas pair, 8 + 3 = 11, ne finit pas par 5 ; 7 × 11 = 77, 7 × 12 = 84, 9² = 81 < 83 < 100 : aucun diviseur, premier.
91 : piège ! 91 = 7 × 13, pas premier.
51 : 5 + 1 = 6, divisible par 3 : 51 = 3 × 17, pas premier.
57 : 5 + 7 = 12, divisible par 3 : 57 = 3 × 19, pas premier.
83 : pas pair, 8 + 3 = 11, ne finit pas par 5 ; 7 × 11 = 77, 7 × 12 = 84, 9² = 81 < 83 < 100 : aucun diviseur, premier.
91 : piège ! 91 = 7 × 13, pas premier.
Exercice 2 : Les critères en action⭐
Pour chacun des nombres 630, 245 et 1 341, dis s'il est divisible par 2, par 3, par 5, par 9, par 10. Justifie à chaque fois.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
630 (unités : 0 ; somme des chiffres : 9)Divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 : le grand chelem.
245 (unités : 5 ; somme des chiffres : 11)Divisible par 5 seulement (11 n'est ni dans la table de 3 ni dans celle de 9 ; 5 est impair).
1 341 (unités : 1 ; somme des chiffres : 9)Divisible par 3 et 9 (somme 9), mais ni par 2, ni par 5, ni par 10 (finit par 1).
245 (unités : 5 ; somme des chiffres : 11)Divisible par 5 seulement (11 n'est ni dans la table de 3 ni dans celle de 9 ; 5 est impair).
1 341 (unités : 1 ; somme des chiffres : 9)Divisible par 3 et 9 (somme 9), mais ni par 2, ni par 5, ni par 10 (finit par 1).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Décomposer en produit de facteurs premiers⭐⭐
Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers (divisions successives ou arbre) :
- 84
- 60
- 126
- 200
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. 84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21, 21 : 3 = 7 : {84 = 2^2 \times 3 \times 7}.
2. 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5 : {60 = 2^2 \times 3 \times 5}.
3. 126 : 2 = 63, 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7 : {126 = 2 \times 3^2 \times 7}.
4. 200 : 2 = 100, 100 : 2 = 50, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5 : 200 = 2^3 \times 5^2.
2. 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5 : {60 = 2^2 \times 3 \times 5}.
3. 126 : 2 = 63, 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7 : {126 = 2 \times 3^2 \times 7}.
4. 200 : 2 = 100, 100 : 2 = 50, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5 : 200 = 2^3 \times 5^2.
Exercice 4 : Tous les diviseurs⭐⭐
- Décompose 36 en produit de facteurs premiers.
- À l'aide de cette décomposition, écris la liste de TOUS les diviseurs de 36.
- Combien 36 a-t-il de diviseurs ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3 : {36 = 2^2 \times 3^2}.
2. On combine les facteurs : 1, 2, 4 (les puissances de 2), puis on multiplie par 3 et par 9 :
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36. Rangés : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
3. 9 diviseurs.
2. On combine les facteurs : 1, 2, 4 (les puissances de 2), puis on multiplie par 3 et par 9 :
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36. Rangés : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
3. 9 diviseurs.
Exercice 5 : Simplifier des fractions⭐⭐
Rends chaque fraction irréductible en décomposant le numérateur et le dénominateur :
- \dfrac{60}{84}
- \dfrac{90}{126}
- \dfrac{48}{200}
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \dfrac{60}{84} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} : on barre 2^2 \times 3, il reste \dfrac{5}{7}.
2. 90 = 2 \times 3^2 \times 5 et {126 = 2 \times 3^2 \times 7} : il reste \dfrac{5}{7}.
3. 48 = 2^4 \times 3 et 200 = 2^3 \times 5^2 : facteur commun 2^3, il reste \dfrac{6}{25}.
2. 90 = 2 \times 3^2 \times 5 et {126 = 2 \times 3^2 \times 7} : il reste \dfrac{5}{7}.
3. 48 = 2^4 \times 3 et 200 = 2^3 \times 5^2 : facteur commun 2^3, il reste \dfrac{6}{25}.
Exercice 6 : Vrai ou faux ?⭐⭐
On donne 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7. Sans calculer 504, dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant :
- 504 est divisible par 8.
- 504 est divisible par 5.
- 504 est un multiple de 21.
- 504 est divisible par 9.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Vrai : 2^3 = 8 apparaît dans la décomposition.
2. Faux : il n'y a aucun facteur 5, donc 504 n'est pas divisible par 5.
3. Vrai : 21 = 3 \times 7, or 3 et 7 sont tous deux présents.
4. Vrai : 9 = 3^2 apparaît dans la décomposition.
2. Faux : il n'y a aucun facteur 5, donc 504 n'est pas divisible par 5.
3. Vrai : 21 = 3 \times 7, or 3 et 7 sont tous deux présents.
4. Vrai : 9 = 3^2 apparaît dans la décomposition.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le carré de billes⭐⭐⭐
Léa possède 180 billes.
- Décompose 180 en produit de facteurs premiers.
- Peut-elle les ranger en paquets de 12 sans qu'il en reste ? Et en paquets de 8 ?
- Elle veut les ranger en un carré parfait (autant de lignes que de colonnes). Est-ce possible ? Explique.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5 : 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5.
2. 12 = 2^2 \times 3 : tous ses facteurs sont dans 180, donc oui, 180 : 12 = 15 paquets.
8 = 2^3 : or 180 ne contient que 2^2, donc non, ce n'est pas divisible par 8.
3. Un carré parfait a une décomposition où tous les exposants sont pairs. Ici l'exposant de 5 vaut 1 (impair) : impossible de former un carré parfait avec 180 billes.
2. 12 = 2^2 \times 3 : tous ses facteurs sont dans 180, donc oui, 180 : 12 = 15 paquets.
8 = 2^3 : or 180 ne contient que 2^2, donc non, ce n'est pas divisible par 8.
3. Un carré parfait a une décomposition où tous les exposants sont pairs. Ici l'exposant de 5 vaut 1 (impair) : impossible de former un carré parfait avec 180 billes.
Exercice 8 : Défis⭐⭐⭐
- Je suis un nombre premier compris entre 60 et 70. Qui suis-je ? (deux réponses)
- Trouve le plus petit nombre entier, plus grand que 1, divisible à la fois par 4, par 9 et par 5.
- Un nombre s'écrit 2^a \times 3. Pour quelle valeur de a ce nombre vaut-il 24 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Entre 60 et 70 : 61 (pas pair, 6 + 1 = 7, ne finit pas par 5, premier) et 67 (pas pair, 6 + 7 = 13, ne finit pas par 5, premier). Réponses : 61 et 67.
2. Il faut au minimum les facteurs de {4 = 2^2}, de 9 = 3^2 et de 5 : 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180. Le plus petit est 180.
3. 24 = 2^3 \times 3, donc a = 3.
2. Il faut au minimum les facteurs de {4 = 2^2}, de 9 = 3^2 et de 5 : 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180. Le plus petit est 180.
3. 24 = 2^3 \times 3, donc a = 3.