Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Équations
Résoudre une équation du premier degré, même avec l'inconnue des deux côtés
I. Le vocabulaire, en une ligne
Équation, inconnue, solution
Une équation est une égalité contenant une lettre inconnue (souvent x). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
Dans 5x − 3 = 2x + 9, il y a un membre de gauche et un membre de droite.
Dans 5x − 3 = 2x + 9, il y a un membre de gauche et un membre de droite.
7x − 5 = 9 est une équation ; x est l'inconnue ; x = 2 est solution (7 × 2 − 5 = 9 ✔)
II. Tester si un nombre est solution
Calculer chaque membre séparément
Pour savoir si un nombre est solution, on le remplace dans x et on calcule chaque membre séparément, puis on compare les deux résultats.
Exemple, l'égalité 5x − 3 = 2x + 9 pour x = 4 : à gauche 5 × 4 − 3 = 17 ; à droite 2 × 4 + 9 = 17. Mêmes valeurs : 4 est solution.
Exemple, l'égalité 5x − 3 = 2x + 9 pour x = 4 : à gauche 5 × 4 − 3 = 17 ; à droite 2 × 4 + 9 = 17. Mêmes valeurs : 4 est solution.
👆 ▶ À toi : l'égalité 4x + 1 = 6x − 7 est-elle vraie pour x = 4 ?
À gauche : 4 × 4 + 1 = 17. À droite : 6 × 4 − 7 = 17.
Mêmes valeurs : l'égalité est vraie, 4 est solution.
Mêmes valeurs : l'égalité est vraie, 4 est solution.
🎮 Entraîne-toi : tester une solution
Calcule chaque membre séparément, puis réponds.
III. Résoudre ax + b = c
L'équation est une balance
On ne change pas les solutions d'une équation si l'on fait la même opération des deux côtés : ajouter ou retirer un même nombre, multiplier ou diviser par un même nombre non nul. C'est une balance qui reste en équilibre.
Isoler le terme en x, puis diviser
3x + 5 = 20
3x − 5 = 20 − 5 (on retire 5)
3x = 15
x = 15 : 3 = 5 (on divise par 3)
Vérification : 3 × 5 + 5 = 20 ✔.
3x − 5 = 20 − 5 (on retire 5)
3x = 15
x = 15 : 3 = 5 (on divise par 3)
Vérification : 3 × 5 + 5 = 20 ✔.
👆 ▶ À toi : résous 4x − 7 = 13, puis vérifie
On ajoute 7 : 4x = 20. On divise par 4 : x = 5.
Vérification : 4 × 5 − 7 = 13 ✔.
Vérification : 4 × 5 − 7 = 13 ✔.
🎮 Entraîne-toi : ax + b = c
Isole le terme en x, puis divise par le coefficient.
x =
IV. L'inconnue des deux côtés
Les trois étapes : regrouper, isoler, diviser
- Regrouper les x dans un seul membre (en retirant le terme en x le plus petit aux deux côtés) ;
- Isoler le terme en x (en déplaçant les nombres de l'autre côté) ;
- Diviser par le coefficient de x.
👆 ▶ À toi : résous 7x − 3 = 4x + 12, puis vérifie
On retire 4x : 3x − 3 = 12. On ajoute 3 : 3x = 15. On divise par 3 : x = 5.
Vérification : à gauche 7 × 5 − 3 = 32, à droite 4 × 5 + 12 = 32 ✔.
Vérification : à gauche 7 × 5 − 3 = 32, à droite 4 × 5 + 12 = 32 ✔.
🎮 Entraîne-toi : x des deux côtés
Regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre.
x =
V. Équations avec parenthèses
Développer d'abord la parenthèse
Si l'équation contient une parenthèse, on la développe d'abord (distributivité), puis on résout comme d'habitude.
Exemple : 3(x + 2) = 2x + 11 devient 3x + 6 = 2x + 11 (le 3 multiplie TOUTE la parenthèse), donc x = 5.
Exemple : 3(x + 2) = 2x + 11 devient 3x + 6 = 2x + 11 (le 3 multiplie TOUTE la parenthèse), donc x = 5.
👆 ▶ À toi : résous 5(x − 2) = 3x + 4, puis vérifie
On développe : 5x − 10 = 3x + 4. On retire 3x : 2x − 10 = 4. On ajoute 10 : 2x = 14. On divise par 2 : x = 7.
Vérification : 5 × (7 − 2) = 25 et 3 × 7 + 4 = 25 ✔.
Vérification : 5 × (7 − 2) = 25 et 3 × 7 + 4 = 25 ✔.
🎮 Entraîne-toi : équation avec parenthèses
Développe la parenthèse, puis regroupe.
x =
VI. Mettre un problème en équation
Les 4 étapes
- Choisir l'inconnue et la nommer (« soit x le nombre de… ») ;
- Traduire l'énoncé par une équation ;
- Résoudre l'équation ;
- Vérifier que la solution est cohérente, puis conclure par une phrase.
👆 ▶ À toi : un rectangle a un périmètre de 46 cm et une longueur de 15 cm. Trouve sa largeur x
Le périmètre vaut 2 × (longueur + largeur), donc 2 × (15 + x) = 46.
Alors 15 + x = 23 (on divise par 2), puis x = 8 cm (vérification : 2 × (15 + 8) = 46 ✔).
Alors 15 + x = 23 (on divise par 2), puis x = 8 cm (vérification : 2 × (15 + 8) = 46 ✔).
VII. Les pièges du chapitre
⚠️ Développe TOUTE la parenthèse
Dans 3(x + 2), le 3 multiplie tout le contenu : 3x + 6, et pas 3x + 2. Oublier de distribuer sur le second terme est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
⚠️ La solution n'est pas toujours entière
En divisant, on peut tomber sur une fraction ou un décimal : 2x = 5 donne x = 2,5. C'est une réponse tout à fait valable, à ne pas arrondir ni « forcer » en nombre entier.
⚠️ Vérifie dans l'équation DE DÉPART
Pour vérifier, remplace x par ta valeur dans l'équation d'origine (avant toute transformation) et contrôle que les deux membres sont bien égaux. Dix secondes qui détectent presque toutes les erreurs.