Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Espace
Pyramide, cône, volumes et agrandissement
I. Deux nouveaux solides : la pyramide et le cône
La pyramide
Une pyramide a une base qui est un polygone (triangle, carré, rectangle, pentagone…) et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent toutes en un même point, le sommet (ou apex).
Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan.
Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan.
Le cône de révolution
Un cône de révolution a une base en forme de disque et un sommet unique ; on l'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.
Son rayon r est celui du disque de base, sa hauteur h relie le sommet au centre de la base.
Son rayon r est celui du disque de base, sa hauteur h relie le sommet au centre de la base.
👆 ▶ À toi : combien de faces, d'arêtes et de sommets a une pyramide à base carrée ? Vérifie
5 faces (1 base carrée + 4 triangles), 8 arêtes (4 sur la base + 4 qui montent vers le sommet) et 5 sommets (les 4 coins de la base + la pointe).
🎮 Entraîne-toi : quel solide suis-je ?
Lis la description (ou le patron) et retrouve le solide.
II. Perspective cavalière et patrons
Représenter en perspective cavalière
- Une face (ou la base) vue de face est dessinée en vraie grandeur.
- Les arêtes « fuyantes » sont parallèles, inclinées et réduites.
- Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
- Un disque (base du cône) devient un ovale vu en perspective.
Le patron : le solide mis à plat
Un patron est une figure plane qui, une fois pliée, reconstitue le solide.
Pyramide à base carrée : 1 carré (la base) + 4 triangles (les faces latérales).
Cône : 1 disque (la base) + 1 secteur circulaire (la surface latérale déroulée).
Pyramide à base carrée : 1 carré (la base) + 4 triangles (les faces latérales).
Cône : 1 disque (la base) + 1 secteur circulaire (la surface latérale déroulée).
👆 ▶ À toi : de quelles figures se compose le patron d'une pyramide à base pentagonale ? Vérifie
1 pentagone (la base) et 5 triangles (les faces latérales) : 6 figures en tout.
III. Volume de la pyramide et du cône
Un tiers de la base fois la hauteur
Pyramide d'aire de base B et de hauteur h : V = \dfrac{1}{3}\times B \times h.
Cône de rayon r et de hauteur h : {V = \dfrac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h} (car l'aire du disque de base vaut \pi \times r^2).
Cône de rayon r et de hauteur h : {V = \dfrac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h} (car l'aire du disque de base vaut \pi \times r^2).
pyramide B = 36, h = 8 : \dfrac{1}{3}\times 36 \times 8 = 96 cm³
⚠️ N'oublie jamais le tiers
Sans le \dfrac{1}{3}, tu obtiens le volume du prisme ou du cylindre correspondant, trois fois trop grand. La pyramide et le cône « pointus » remplissent exactement un tiers de la boîte qui les contient.
🎮 Entraîne-toi : le volume d'une pyramide
V = (aire de la base × hauteur) : 3.
V =
cm³
🎮 Entraîne-toi : le volume d'un cône
V = (r² × h) : 3, et le π reste en facteur. Donne le nombre devant π.
V =
π cm³
IV. Conversions d'unités de volume
Les unités sautent de 1 000 en 1 000
1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 (trois colonnes par unité dans le tableau !).
Le pont vers les litres : 1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 et 1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3, donc 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}.
Le pont vers les litres : 1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 et 1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3, donc 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}.
👆 ▶ À toi : un bidon contient 5 dm³. Combien de litres ? Et en cm³ ? Vérifie
1 dm³ = 1 L, donc 5 L ; et 1 dm³ = 1 000 cm³, donc 5 000 cm³.
🎮 Entraîne-toi : convertir un volume
1 m³ = 1 000 dm³, 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 L.
V. Agrandissement et réduction
Longueurs × k, aires × k², volumes × k³
Quand toutes les dimensions d'un solide sont multipliées par un coefficient k (on agrandit si k est plus grand que 1, on réduit s'il est compris entre 0 et 1) :
les longueurs sont multipliées par k, les aires par k^2 et les volumes par k^3.
les longueurs sont multipliées par k, les aires par k^2 et les volumes par k^3.
⚠️ k, k² ou k³ ?
Un volume n'est jamais multiplié par k tout seul. Exemple : si on double les dimensions (k=2), le volume est multiplié par 2^3 = 8, pas par 2.
🎮 Entraîne-toi : l'effet d'un agrandissement
Aires : multiplie par k². Volumes : multiplie par k³.
VI. Les pièges du chapitre
⚠️ Rayon ou diamètre ?
La formule du cône utilise le rayon. Si l'énoncé donne un diamètre de 10 cm, c'est r = 5 cm qu'il faut mettre au carré, pas 10.
⚠️ Des unités cohérentes
Avant de calculer un volume, mets toutes les longueurs dans la même unité : un rayon en cm et une hauteur en m donneraient un résultat faux.
👆 ▶ À toi : un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 9 cm. Donne son volume en fonction de π. Vérifie
\begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2 \times 9 \\ &= \dfrac{1}{3}\times \pi \times 9 \times 9 \\ &= \mathbf{27\pi}\end{aligned} cm³ (soit environ 84,8 cm³ avec \pi \approx 3{,}14).