Fiche d'exercices Logimaths | 4ème
Fiche d'exercices : Puissances
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Définition et cas particuliers⭐
Calcule sans calculatrice :
- 2⁴ ; 3³ ; 10⁵
- 9¹ ; 41⁰ ; 1⁷ ; 0⁴
- Explique pourquoi 4³ n'est pas égal à 4 × 3.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 2⁴ = 16 ; 3³ = 27 ; 10⁵ = 100 000.
2. 9¹ = 9 ; 41⁰ = 1 (exposant zéro) ; 1⁷ = 1 ; 0⁴ = 0.
3. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 (trois facteurs), alors que 4 × 3 = 12 : l'exposant compte le nombre de facteurs, il ne se multiplie pas avec la base.
2. 9¹ = 9 ; 41⁰ = 1 (exposant zéro) ; 1⁷ = 1 ; 0⁴ = 0.
3. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 (trois facteurs), alors que 4 × 3 = 12 : l'exposant compte le nombre de facteurs, il ne se multiplie pas avec la base.
Exercice 2 : La chasse aux signes⭐
Calcule en distinguant bien les écritures :
- (−3)² et −3²
- (−2)⁴ et (−2)⁵
- (−1)²⁰²⁶ et (−1)⁷
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. (−3)² = (−3) × (−3) = 9, mais −3² = −(3 × 3) = −9 : la parenthèse fait entrer le signe dans la puissance.
2. (−2)⁴ = 16 (exposant pair, positif) ; (−2)⁵ = −32 (exposant impair, négatif).
3. (−1)²⁰²⁶ = 1 (2026 est pair) ; (−1)⁷ = −1 (7 impair).
2. (−2)⁴ = 16 (exposant pair, positif) ; (−2)⁵ = −32 (exposant impair, négatif).
3. (−1)²⁰²⁶ = 1 (2026 est pair) ; (−1)⁷ = −1 (7 impair).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Les trois règles de même base⭐⭐
Écris chaque résultat sous la forme d'une seule puissance :
- 3² × 3³
- 5⁶ : 5²
- (2³)²
- 7⁴ × 7 × 7²
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. On ajoute : 3² × 3³ = 3²⁺³ = 3⁵ (= 243).
2. On soustrait : 5⁶ : 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ (= 625).
3. On multiplie : (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶ (= 64).
4. 7 = 7¹, donc 7⁴ × 7¹ × 7² = 7⁴⁺¹⁺² = 7⁷.
2. On soustrait : 5⁶ : 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ (= 625).
3. On multiplie : (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶ (= 64).
4. 7 = 7¹, donc 7⁴ × 7¹ × 7² = 7⁴⁺¹⁺² = 7⁷.
Exercice 4 : Exposants négatifs⭐⭐
Écris chaque nombre sous forme de fraction (ou de nombre décimal) :
- 2⁻³
- 5⁻²
- 10⁻¹ et 10⁻²
- Un exposant négatif donne-t-il un nombre négatif ? Explique.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
2. 5⁻² = 1/5² = 1/25.
3. 10⁻¹ = 1/10 = 0,1 ; 10⁻² = 1/100 = 0,01.
4. Non : un exposant négatif donne l'INVERSE, un nombre positif plus petit que 1. Le signe ne dépend que de la base.
2. 5⁻² = 1/5² = 1/25.
3. 10⁻¹ = 1/10 = 0,1 ; 10⁻² = 1/100 = 0,01.
4. Non : un exposant négatif donne l'INVERSE, un nombre positif plus petit que 1. Le signe ne dépend que de la base.
Exercice 5 : Puissances de 10 et écriture décimale⭐⭐
- Écris en écriture décimale : 10⁴ ; 10⁶ ; 10⁻³.
- Écris sous la forme d'une puissance de 10 : 1 000 ; 100 000 ; 0,01.
- Combien de zéros y a-t-il dans l'écriture décimale de 10⁸ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 10⁴ = 10 000 ; 10⁶ = 1 000 000 ; 10⁻³ = 0,001.
2. 1 000 = 10³ ; 100 000 = 10⁵ ; 0,01 = 10⁻².
3. 10⁸ = 100 000 000 : un 1 suivi de 8 zéros.
2. 1 000 = 10³ ; 100 000 = 10⁵ ; 0,01 = 10⁻².
3. 10⁸ = 100 000 000 : un 1 suivi de 8 zéros.
Exercice 6 : Calculs mixtes⭐⭐
Calcule (donne le résultat en nombre entier ou décimal) :
- A = 2³ × 2²
- B = (−2)³ + 5²
- C = 10³ : 10⁵
- D = 3² × 10²
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
A = 2³⁺² = 2⁵ = 32.
B = (−8) + 25 = 17 (attention au signe de (−2)³).
C = 10³⁻⁵ = 10⁻² = 0,01.
D = 9 × 100 = 900 (bases différentes : on calcule chaque puissance, on ne simplifie pas les exposants).
B = (−8) + 25 = 17 (attention au signe de (−2)³).
C = 10³⁻⁵ = 10⁻² = 0,01.
D = 9 × 100 = 900 (bases différentes : on calcule chaque puissance, on ne simplifie pas les exposants).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Vrai ou faux ?⭐⭐⭐
Pour chaque égalité, réponds vrai ou faux en justifiant :
- 2³ + 2⁴ = 2⁷
- (3²)⁴ = 3⁸
- 10⁻² est un nombre négatif.
- 6⁵ : 6² = 6³
- 2³ × 5³ = 10³
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. FAUX : 8 + 16 = 24, et 2⁷ = 128 : les règles ne s'appliquent pas aux sommes.
2. VRAI : puissance d'une puissance, on multiplie : 2 × 4 = 8.
3. FAUX : 10⁻² = 0,01 > 0 : l'exposant négatif signale un inverse, pas un signe.
4. VRAI : même base, on soustrait : 5 − 2 = 3.
5. VRAI : 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³ = 1 000 (ici les exposants sont égaux, on peut regrouper les bases).
2. VRAI : puissance d'une puissance, on multiplie : 2 × 4 = 8.
3. FAUX : 10⁻² = 0,01 > 0 : l'exposant négatif signale un inverse, pas un signe.
4. VRAI : même base, on soustrait : 5 − 2 = 3.
5. VRAI : 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³ = 1 000 (ici les exposants sont égaux, on peut regrouper les bases).
Exercice 8 : Ordres de grandeur⭐⭐⭐
On donne quelques repères en mètres.
- La Tour Eiffel mesure environ 330 m. Donne son ordre de grandeur sous la forme d'une puissance de 10.
- Un globule rouge mesure environ 0,000 007 m. Même question.
- Range du plus petit au plus grand : 10⁻⁴ m ; 10² m ; 10⁻¹ m ; 10⁶ m.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 330 est entre 100 = 10² et 1 000 = 10³, plus proche de 10² : ordre de grandeur 10² m.
2. 0,000 007 est proche de 0,000 01 = 10⁻⁵ : ordre de grandeur 10⁻⁵ m (soit environ un centième de millimètre).
3. Du plus petit au plus grand : 10⁻⁴ < 10⁻¹ < 10² < 10⁶ : il suffit de comparer les exposants.
2. 0,000 007 est proche de 0,000 01 = 10⁻⁵ : ordre de grandeur 10⁻⁵ m (soit environ un centième de millimètre).
3. Du plus petit au plus grand : 10⁻⁴ < 10⁻¹ < 10² < 10⁶ : il suffit de comparer les exposants.