Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Puissances
Une écriture pour empiler les multiplications : définition, signe, règles de calcul et puissances de 10
I. Qu'est-ce qu'une puissance ?
aⁿ : n facteurs identiques
Écrire aⁿ (on lit « a puissance n »), c'est multiplier le nombre a par lui-même n fois : c'est un raccourci pour ne pas recopier une longue multiplication. Le nombre a est la base, le petit nombre n en haut est l'exposant.
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
la base 2 écrite 5 fois (exposant 5)
la base 2 écrite 5 fois (exposant 5)
Deux cas à connaître par cœur
- a¹ = a : un seul facteur, c'est le nombre lui-même (7¹ = 7) ;
- a⁰ = 1 pour tout nombre a non nul (2026⁰ = 1).
👆 ▶ À toi : calcule 3⁴, puis 8¹ et 8⁰. Vérifie
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
8¹ = 8 (un seul facteur) et 8⁰ = 1 (exposant zéro).
8¹ = 8 (un seul facteur) et 8⁰ = 1 (exposant zéro).
🎮 Entraîne-toi : calculer une puissance
Déplie la multiplication puis calcule le résultat.
II. Le signe d'une puissance
Base négative : tout se joue sur l'exposant
Quand la base est un nombre négatif entre parenthèses, le signe du résultat dépend de la parité de l'exposant :
- exposant pair → résultat positif : (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 ;
- exposant impair → résultat négatif : (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8.
Exposant pair
(−3)² = 9
les moins s'annulent deux par deux → positif
Exposant impair
(−3)³ = −27
il reste un moins tout seul → négatif
⚠️ (−5)² n'est pas −5²
La parenthèse change tout : (−5)² = (−5) × (−5) = 25, mais −5² = −(5 × 5) = −25 : sans parenthèse, le signe moins reste en dehors de la puissance.
👆 ▶ À toi : (−4)² puis (−4)³ sont-ils positifs ou négatifs ? Calcule
(−4)² = 16 (exposant pair, positif) ; (−4)³ = −64 (exposant impair, négatif).
🎮 Entraîne-toi : positif ou négatif ?
La base est négative : regarde si l'exposant est pair ou impair.
III. Les trois règles de calcul (même base)
Avec une seule et même base a
- produit : a^m \times a^n = a^{m+n} (on ajoute les exposants) ;
- quotient : a^m : a^n = a^{m-n} (on soustrait les exposants) ;
- puissance d'une puissance : {(a^m)^n = a^{m \times n}} (on multiplie les exposants).
| Ce qu'on fait | Sur les exposants | Exemple |
|---|---|---|
| Multiplier (même base) | on ajoute | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Diviser (même base) | on soustrait | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Élever une puissance | on multiplie | (3²)³ = 3⁶ |
⚠️ Deux pièges à éviter
- ces règles marchent seulement pour une même base : 2³ × 5² ne se simplifie pas (bases différentes) ;
- elles ne concernent que les produits et quotients : pour une SOMME, 2³ + 2⁴ ne vaut ni 2⁷ ni 4⁷ (c'est 8 + 16 = 24).
👆 ▶ À toi : écris 7² × 7⁵ puis (7²)⁵ sous la forme 7ⁿ. Vérifie
7² × 7⁵ = 7²⁺⁵ = 7⁷ (on ajoute).
(7²)⁵ = 7²ˣ⁵ = 7¹⁰ (on multiplie) : ne les confonds pas !
(7²)⁵ = 7²ˣ⁵ = 7¹⁰ (on multiplie) : ne les confonds pas !
🎮 Entraîne-toi : appliquer les trois règles
Produit : ajoute ; quotient : soustrais ; puissance de puissance : multiplie.
IV. Les exposants négatifs
Un exposant négatif, c'est l'inverse
Un exposant négatif indique qu'on prend l'inverse de la puissance : {a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} (a non nul).
2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8
un nombre positif, plus petit que 1
un nombre positif, plus petit que 1
⚠️ Exposant négatif ≠ nombre négatif
2⁻³ = 1/8 : c'est un nombre positif ! L'exposant négatif signale un inverse, pas un signe moins. Pour connaître le signe, seule compte la règle pair/impair sur une base négative (partie II).
👆 ▶ À toi : écris 5⁻² puis 10⁻¹ sous forme de fraction. Vérifie
5⁻² = 1/5² = 1/25 ; 10⁻¹ = 1/10¹ = 1/10 (soit 0,1).
V. Les puissances de 10
Compter les zéros et les rangs
- 10ⁿ (exposant positif) = un 1 suivi de n zéros : 10⁴ = 10 000 ;
- 10⁻ⁿ (exposant négatif) = un nombre décimal, le 1 étant au n-ième rang après la virgule : 10⁻³ = 0,001.
| Puissance | Écriture décimale | En mots |
|---|---|---|
| 10³ | 1 000 | mille |
| 10² | 100 | cent |
| 10¹ | 10 | dix |
| 10⁰ | 1 | un |
| 10⁻¹ | 0,1 | un dixième |
| 10⁻³ | 0,001 | un millième |
Les ordres de grandeur
Les puissances de 10 servent à donner l'ordre de grandeur d'un nombre, c'est-à-dire la puissance de 10 la plus proche : la population de la France (environ 68 000 000 d'habitants) est de l'ordre de 10⁷, l'épaisseur d'un cheveu (environ 0,000 07 m) est de l'ordre de 10⁻⁴ m. C'est pratique pour comparer très vite deux grandeurs.
👆 ▶ À toi : écris 10⁵ et 10⁻² en écriture décimale. Vérifie
10⁵ = 100 000 (un 1 suivi de 5 zéros) ; 10⁻² = 0,01 (le 1 au 2ᵉ rang après la virgule).
🎮 Entraîne-toi : les puissances de 10
Écris la puissance de 10 en écriture décimale (nombre entier).