Exercice 1 : Reconnaître l'hypoténuse⭐
Pour chaque triangle rectangle, donne le nom de l'hypoténuse :
ABC rectangle en A
MNP rectangle en N
RST rectangle en T
👆▶ Correction de l'exercice 1
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (celui qui ne passe pas par le sommet de l'angle droit). 1.[BC]. 2.[MP]. 3.[RS].
Exercice 2 : Écrire l'égalité de Pythagore⭐
Écris l'égalité de Pythagore correspondant à chaque triangle rectangle :
ABC rectangle en A
DEF rectangle en E
👆▶ Correction de l'exercice 2
On isole le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) : 1.BC^2 = AB^2 + AC^2. 2.DF^2 = DE^2 + EF^2.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Calculer l'hypoténuse⭐⭐ABC est rectangle en C, avec BC = 6 cm et AC = 8 cm.Triangle ABC rectangle en C.Calcule la longueur AB.
👆▶ Correction de l'exercice 3
Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore : \begin{aligned}AB^2 &= CA^2 + CB^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned} Donc \begin{aligned}AB &= \sqrt{100} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
Exercice 4 : Calculer un côté de l'angle droit⭐⭐ABC est rectangle en A, avec BC = 25 cm (hypoténuse) et AB = 7 cm.Triangle ABC rectangle en A, hypoténuse [BC].Calcule la longueur AC.
👆▶ Correction de l'exercice 4
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore : BC^2 = AB^2 + AC^2, donc \begin{aligned}AC^2 &= BC^2 - AB^2 \\ &= 25^2 - 7^2 \\ &= 625 - 49 \\ &= 576\end{aligned} Donc \begin{aligned}AC &= \sqrt{576} \\ &= \mathbf{24}\end{aligned} cm.
Exercice 5 : La réciproque⭐⭐
Un triangle DEF a pour côtés DE = 9 cm, EF = 12 cm et DF = 15 cm.
Calcule DF^2, puis DE^2 + EF^2.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifie à l'aide de la réciproque.
Si oui, en quel sommet est-il rectangle ?
👆▶ Correction de l'exercice 5
1.\begin{aligned}DF^2 &= 15^2 \\ &= 225\end{aligned}\begin{aligned}DE^2 + EF^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 81 + 144 \\ &= 225\end{aligned} 2.DF^2 = DE^2 + EF^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle. 3. L'angle droit est opposé au plus grand côté [DF] : le triangle est rectangle en \mathbf{E}.
Exercice 6 : Valeur exacte et valeur approchée⭐⭐ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 5 cm.
Donne la valeur exacte de BC.
Donne la valeur approchée au dixième de centimètre.
👆▶ Correction de l'exercice 6
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore : \begin{aligned}BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= 3^2 + 5^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34\end{aligned} 1. Valeur exacte : BC = \sqrt{34} cm. 2. Valeur approchée : BC \approx 5{,}8 cm (à la calculatrice).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Rectangle ou pas ?⭐⭐⭐
Pour chaque triangle, dis s'il est rectangle et, si oui, en quel sommet. Justifie par la réciproque ou la contraposée :
GHI avec GH = 8 cm, HI = 15 cm, GI = 17 cm.
JKL avec JK = 4 cm, KL = 6 cm, JL = 8 cm.
👆▶ Correction de l'exercice 7
1. Plus grand côté [GI] : \begin{aligned}GI^2 &= 17^2 \\ &= 289\end{aligned} et \begin{aligned}GH^2 + HI^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &= 64 + 225 \\ &= 289\end{aligned} Égalité vérifiée : d'après la réciproque, GHI est rectangle en H (sommet opposé à [GI]). 2. Plus grand côté [JL] : \begin{aligned}JL^2 &= 8^2 \\ &= 64\end{aligned} et \begin{aligned}JK^2 + KL^2 &= 4^2 + 6^2 \\ &= 16 + 36 \\ &= 52\end{aligned} 64 \neq 52 : d'après la contraposée, JKLn'est pas rectangle.
Exercice 8 : Une échelle contre un mur⭐⭐⭐
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 3 m du bas du mur.
Explique pourquoi on peut modéliser la situation par un triangle rectangle.
À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
👆▶ Correction de l'exercice 8
1. Le mur est vertical et le sol est horizontal : ils forment un angle droit à leur intersection. L'échelle est l'hypoténuse, le sol et le mur sont les deux côtés de l'angle droit. 2. On note h la hauteur cherchée. D'après le théorème de Pythagore : {5^2 = 3^2 + h^2}, donc \begin{aligned}h^2 &= 25 - 9 \\ &= 16\end{aligned} et \begin{aligned}h &= \sqrt{16} \\ &= \mathbf{4}\end{aligned} m.
