Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Théorème de Pythagore
Calculer une longueur, la réciproque et la rédaction type
I. Reconnaître l'hypoténuse
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés.
Le bon réflexe
On repère l'angle droit (le petit carré sur la figure), puis on lit le sommet où il se trouve. L'hypoténuse est le côté qui ne touche PAS ce sommet.
Sur la figure : l'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est [BC].
Sur la figure : l'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est [BC].
👆 ▶ À toi : un triangle RST est rectangle en S. Quel côté est l'hypoténuse ? Puis vérifie
L'angle droit est en S, donc l'hypoténuse est le côté opposé : [RT] (celui qui ne passe pas par S).
🎮 Entraîne-toi : trouver l'hypoténuse
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
II. Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors {BC^2 = AB^2 + AC^2}.
Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
BC2 = AB2 + AC2
⚠️ À quoi ça sert ?
Ce théorème relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il permet de calculer une longueur manquante dès qu'on connaît les deux autres. (Pour les angles, ce sera le cosinus, dans un autre chapitre.)
III. Calculer l'hypoténuse
Méthode : on ADDITIONNE les carrés
On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche l'hypoténuse.
Exemple : ABC rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= 3^2 + 4^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}
Donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned} cm.
Exemple : ABC rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= 3^2 + 4^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}
Donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned} cm.
👆 ▶ À toi : ABC rectangle en A, AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule BC. Puis vérifie
\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= 6^2 + 8^2 \\ &= 36 + 64 \\ &= 100\end{aligned}
Donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{100} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
Donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{100} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
🎮 Entraîne-toi : calculer l'hypoténuse
Additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis prends la racine.
BC =
cm
IV. Calculer un côté de l'angle droit
Méthode : on SOUSTRAIT les carrés
On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on cherche l'autre côté.
Exemple : ABC rectangle en A avec BC = 13 cm (hypoténuse) et AB = 5 cm.
D'après le théorème de Pythagore, {BC^2 = AB^2 + AC^2}, donc \begin{aligned}AC^2 &= BC^2 - AB^2 \\ &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}
Donc \begin{aligned}AC &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned} cm.
Exemple : ABC rectangle en A avec BC = 13 cm (hypoténuse) et AB = 5 cm.
D'après le théorème de Pythagore, {BC^2 = AB^2 + AC^2}, donc \begin{aligned}AC^2 &= BC^2 - AB^2 \\ &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}
Donc \begin{aligned}AC &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned} cm.
⚠️ Addition ou soustraction ?
Si on cherche l'hypoténuse (le plus grand côté), on additionne les carrés. Si on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours seule dans son coin de l'égalité.
👆 ▶ À toi : ABC rectangle en A, BC = 10 cm et AC = 6 cm. Calcule AB. Puis vérifie
\begin{aligned}AB^2 &= BC^2 - AC^2 \\ &= 10^2 - 6^2 \\ &= 100 - 36 \\ &= 64\end{aligned}
Donc \begin{aligned}AB &= \sqrt{64} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
Donc \begin{aligned}AB &= \sqrt{64} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
🎮 Entraîne-toi : calculer un côté de l'angle droit
Soustrais le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis prends la racine.
cm
V. Valeur exacte et valeur approchée
Quand le nombre sous la racine n'est pas un carré parfait
Souvent, la longueur cherchée n'est pas un nombre entier. On donne alors :
- la valeur exacte, avec le symbole racine (par exemple \sqrt{20} cm) ;
- la valeur approchée, obtenue à la calculatrice et arrondie (par exemple \sqrt{20} \approx 4{,}5 cm).
👆 ▶ À toi : ABC rectangle en A, AB = 2 cm et AC = 4 cm. Donne BC (valeur exacte puis arrondie au dixième). Vérifie
\begin{aligned}BC^2 &= 2^2 + 4^2 \\ &= 4 + 16 \\ &= 20\end{aligned}
Valeur exacte : BC = \sqrt{20} cm. Valeur approchée : BC \approx 4{,}5 cm.
Valeur exacte : BC = \sqrt{20} cm. Valeur approchée : BC \approx 4{,}5 cm.
VI. La réciproque : montrer qu'un triangle est rectangle
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle ABC, si {BC^2 = AB^2 + AC^2} (avec [BC] le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en A.
Rédaction type
- On repère le plus grand côté (candidat hypoténuse) et on calcule son carré d'un côté.
- On calcule la somme des carrés des deux autres côtés de l'autre côté.
- On compare : si les deux résultats sont égaux, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
- On conclut : « d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle » (en précisant le sommet, opposé au plus grand côté).
Exemple rédigé
DEF a pour côtés DE = 5 cm, {EF = 12} cm et DF = 13 cm. Le plus grand côté est [DF].
D'une part : \begin{aligned}DF^2 &= 13^2 \\ &= 169\end{aligned}
D'autre part : \begin{aligned}DE^2 + EF^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}
On a DF^2 = DE^2 + EF^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E (sommet opposé à [DF]).
D'une part : \begin{aligned}DF^2 &= 13^2 \\ &= 169\end{aligned}
D'autre part : \begin{aligned}DE^2 + EF^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}
On a DF^2 = DE^2 + EF^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E (sommet opposé à [DF]).
🎮 Entraîne-toi : rectangle ou pas ?
Compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
VII. La contraposée : montrer qu'un triangle N'est PAS rectangle
Contraposée
Dans un triangle ABC, si {BC^2 \neq AB^2 + AC^2} (avec [BC] le plus grand côté), alors le triangle n'est pas rectangle.
👆 ▶ À toi : un triangle a pour côtés 4 cm, 5 cm et 7 cm. Est-il rectangle ? Vérifie
Plus grand côté : 7. 7^2 = 49 et \begin{aligned}4^2 + 5^2 &= 16 + 25 \\ &= 41\end{aligned}
49 \neq 41 : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
49 \neq 41 : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
VIII. Les pièges du chapitre
⚠️ Bien identifier l'hypoténuse
Avant de comparer, place TOUJOURS le plus grand côté (l'hypoténuse) dans le carré isolé. Comparer 5^2 à 12^2 + 13^2 n'a aucun sens : c'est 13^2 qu'il faut comparer à 5^2 + 12^2.
⚠️ Le carré n'est pas le double
5^2 = 25, pas 10 : « au carré » veut dire 5 \times 5, pas 5 \times 2. De même, \sqrt{36} = 6, pas 18.
⚠️ Même unité pour tout le monde
Avant de calculer, vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité. Des cm avec des m dans la même égalité donnent un résultat faux.
👆 ▶ À toi : peut-on avoir un triangle rectangle d'hypoténuse 5 cm et de côtés 6 cm et 8 cm ? Vérifie
Non : l'hypoténuse est le plus long côté, elle ne peut pas mesurer 5 cm si deux autres côtés mesurent 6 cm et 8 cm. Un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.