Exercice 1 : Écrire l'égalité des rapports⭐Dans le triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 7{,}5 cm et AC = 10 cm.Triangle ABC avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) parallèle à (BC).
Vérifier que la configuration permet d'appliquer le théorème de Thalès.
Écrire les rapports égaux d'après le théorème.
Calculer AN.
👆▶ Correction de l'exercice 1
a)A, M, B sont alignés, A, N, C sont alignés dans le même ordre, et (MN) // (BC) : les deux conditions sont réunies. b) D'après le théorème de Thalès, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned} c) On garde \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, soit \dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{AN}{10}, donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{3 \times 10}{7{,}5} \\ &= \dfrac{30}{7{,}5} \\ &= \mathbf{4}\end{aligned} cm.
Exercice 2 : Calculer la longueur du segment parallèle⭐On reprend la configuration de l'exercice 1, en ajoutant BC = 9 cm.
Écrire le rapport égal qui permet de calculer MN.
Calculer MN.
Vérifier la cohérence : MN doit être plus petit que BC. Est-ce le cas ?
👆▶ Correction de l'exercice 2
a) D'après le théorème de Thalès, \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, soit \dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{MN}{9}. b)\begin{aligned}MN &= \dfrac{3 \times 9}{7{,}5} \\ &= \dfrac{27}{7{,}5} \\ &= \mathbf{3{,}6}\end{aligned} cm. c)3{,}6 < 9 : c'est cohérent, car M et N sont plus proches de A que B et C.
Exercice 3 : Reconnaître (ou non) une configuration de Thalès⭐Pour chaque situation, dire si le théorème de Thalès s'applique, et justifier.
M sur [AB], N sur [AC], (MN) // (BC).
M sur [AB], N sur [AC], (MN) perpendiculaire à (BC).
(AB) et (AC) sont parallèles entre elles.
👆▶ Correction de l'exercice 3
a)Oui : alignement depuis A et parallélisme de (MN) et (BC). b)Non : perpendiculaires n'est pas parallèles, la condition de parallélisme manque. c)Non : il faut deux droites sécantes en A, pas deux droites parallèles.
Le cœur du chapitre
Exercice 4 : Calculer une longueur (rédaction complète)⭐⭐M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm et AC = 15 cm.
Rédiger entièrement le calcul de AN (les 4 étapes).
👆▶ Correction de l'exercice 4
Les points A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés dans le même ordre. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned} On garde \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, soit \dfrac{4}{10}=\dfrac{AN}{15}, donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{4 \times 15}{10} \\ &= \dfrac{60}{10} \\ &= \mathbf{6}\end{aligned} cm.
Exercice 5 : Agrandissement et coefficient⭐⭐Un triangle AMN est une réduction du triangle ABC (configuration de Thalès). On donne MN = 4 cm et BC = 10 cm.
Calculer le coefficient d'agrandissement qui transforme AMN en ABC.
Sachant que AM = 6 cm, en déduire AB.
S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction lorsqu'on passe de ABC à AMN ?
👆▶ Correction de l'exercice 5
a) Coefficient =\dfrac{BC}{MN}=\dfrac{10}{4}=\mathbf{2{,}5}. b)\begin{aligned}AB &= AM \times 2{,}5 \\ &= 6 \times 2{,}5 \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} cm. c) De ABC vers AMN, c'est une réduction (coefficient \dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4, plus petit que 1).
Exercice 6 : Hauteur d'un arbre par son ombre⭐⭐Au même instant, un piquet vertical de 1{,}5 m projette une ombre de 2 m, et un arbre projette une ombre de 12 m. Les rayons du soleil sont parallèles : on obtient deux triangles en configuration de Thalès.
Expliquer pourquoi on peut utiliser une proportionnalité entre hauteurs et ombres.
Calculer la hauteur de l'arbre.
👆▶ Correction de l'exercice 6
a) Les rayons du soleil étant parallèles, le piquet et l'arbre forment deux triangles de même forme (configuration de Thalès) : hauteurs et ombres sont proportionnelles. b)\dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}} est le même pour les deux : \dfrac{h}{12}=\dfrac{1{,}5}{2}, donc \begin{aligned}h &= \dfrac{1{,}5 \times 12}{2} \\ &= \dfrac{18}{2} \\ &= \mathbf{9}\end{aligned} m.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Quand le côté est donné en deux morceaux⭐⭐⭐M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 6 cm, MB = 4 cm et AN = 9 cm.
Calculer AB.
En déduire AC.
👆▶ Correction de l'exercice 7
a)\begin{aligned}AB &= AM + MB \\ &= 6 + 4 \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm. b) D'après Thalès, \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, soit \dfrac{6}{10}=\dfrac{9}{AC}, donc \begin{aligned}AC &= \dfrac{9 \times 10}{6} \\ &= \dfrac{90}{6} \\ &= \mathbf{15}\end{aligned} cm.
Exercice 8 : Problème : la maquette⭐⭐⭐Une maquette de pont est une réduction du pont réel, en configuration de Thalès. Une poutre de la maquette mesure 8 cm, la poutre correspondante du pont réel mesure 6 m (soit 600 cm).
Calculer le coefficient de réduction du pont réel vers la maquette.
Une autre poutre du pont réel mesure 9 m. Quelle est sa longueur sur la maquette (en cm) ?
👆▶ Correction de l'exercice 8
a) Coefficient de réduction {=\dfrac{\text{maquette}}{\text{réel}}=\dfrac{8}{600}=\dfrac{1}{75}} : la maquette est 75 fois plus petite. b)9 m = 900 cm, donc sur la maquette : \dfrac{900}{75}=\mathbf{12} cm.
