Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Théorème de Thalès
Configuration triangle, rédaction type et calcul de longueurs
I. La configuration de Thalès
Une configuration à reconnaître
On part d'un triangle ABC. Un point M est sur le côté [AB], un point N est sur le côté [AC], et la droite (MN) est parallèle à (BC).
Les points A, M, B sont alignés, et A, N, C aussi : tout part du sommet A.
Les points A, M, B sont alignés, et A, N, C aussi : tout part du sommet A.
⚠️ Avant tout : deux vérifications
Le théorème ne s'utilise que si les deux conditions sont réunies :
- les points sont alignés depuis A (M sur [AB], N sur [AC]) ;
- les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
🎮 Entraîne-toi : est-ce une configuration de Thalès ?
Lis la situation et vérifie les deux conditions (alignement depuis A + parallélisme).
II. Le théorème de Thalès
Théorème
Si M est sur [AB], N est sur [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), alors les trois rapports de longueurs sont égaux :
\begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
Comment lire ces rapports
Chaque rapport compare une longueur du petit triangle AMN à la longueur correspondante du grand triangle ABC :
- \dfrac{AM}{AB} : sur le côté (AB) ;
- \dfrac{AN}{AC} : sur le côté (AC) ;
- \dfrac{MN}{BC} : entre les deux droites parallèles.
III. Calculer une longueur : la rédaction type
Méthode en 4 étapes
- « Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre. »
- « Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. »
- « D'après le théorème de Thalès, on a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned} »
- On garde les deux rapports utiles (celui qu'on connaît et celui qui contient l'inconnue), puis on calcule par produit en croix.
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} donne AN=\dfrac{AM \times AC}{AB} (produit en croix)
👆 ▶ À toi : AM = 4 cm, AB = 6 cm, MN = 5 cm. Calcule BC, puis vérifie
On garde \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, soit \dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{BC}.
Produit en croix : \begin{aligned}BC &= \dfrac{5 \times 6}{4} \\ &= \dfrac{30}{4} \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm. (Cohérent : BC est plus grand que MN.)
Produit en croix : \begin{aligned}BC &= \dfrac{5 \times 6}{4} \\ &= \dfrac{30}{4} \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm. (Cohérent : BC est plus grand que MN.)
🎮 Entraîne-toi : une longueur sur les côtés (AB) ou (AC)
Écris l'égalité des rapports, puis calcule par produit en croix.
cm
🎮 Entraîne-toi : la longueur du segment parallèle
Ici l'inconnue est sur les droites parallèles (MN ou BC).
cm
IV. Agrandissement, réduction et coefficient
Le rapport commun est un coefficient
Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC (ou ABC est un agrandissement de AMN). Le rapport commun de Thalès est le coefficient qui passe d'un triangle à l'autre :
- un coefficient plus grand que 1 : agrandissement ;
- un coefficient plus petit que 1 : réduction.
Exemple
Petit triangle MN = 6 cm, grand triangle BC = 15 cm : le coefficient d'agrandissement vaut \begin{aligned}\dfrac{BC}{MN} &= \dfrac{15}{6} \\ &= 2{,}5\end{aligned} Chaque longueur de ABC vaut 2{,}5 fois la longueur correspondante de AMN.
🎮 Entraîne-toi : le coefficient d'agrandissement
Divise la longueur du grand triangle par la longueur correspondante du petit.
V. Les pièges du chapitre
⚠️ Écris les rapports dans le bon sens
Au numérateur, les longueurs du petit triangle (AM, AN, MN) ; au dénominateur, celles du grand (AB, AC, BC). Ne mélange jamais \dfrac{AM}{AB} avec \dfrac{AB}{AM}.
⚠️ AB, pas MB
Dans \dfrac{AM}{AB}, le dénominateur est le côté entier AB (mesuré depuis A), pas le morceau MB. Si l'énoncé donne AM et MB, commence par calculer {AB = AM + MB}.
⚠️ Le parallélisme est obligatoire
Sans (MN) parallèle à (BC), les rapports ne sont pas égaux et le théorème ne s'applique pas. On vérifie toujours cette condition avant de se lancer dans le calcul.
👆 ▶ À toi : AM = 5 cm, MB = 3 cm, AN = 5 cm, et (MN) // (BC). Calcule AC. Vérifie
D'abord \begin{aligned}AB &= AM + MB \\ &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned} cm.
Puis \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, soit \dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{AC}, donc \begin{aligned}AC &= \dfrac{5 \times 8}{5} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
Puis \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, soit \dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{AC}, donc \begin{aligned}AC &= \dfrac{5 \times 8}{5} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.