Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Fractions
Multiplier, diviser, additionner : les quatre operations sur les fractions, meme negatives
I. Multiplier deux fractions
La règle
On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux :
\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}. Pas besoin de dénominateur commun : c'est l'opération la plus simple !
\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}. Pas besoin de dénominateur commun : c'est l'opération la plus simple !
Pourquoi ce dessin ?
Le grand carré vaut 1. Il est partagé en 3 colonnes (les tiers) et en 4 lignes (les quarts) : cela fabrique 3 × 4 = 12 petits rectangles tous identiques. Prendre les 2/3 puis les 3/4, c'est garder la zone violette : 2 × 3 = 6 cases sur 12, soit \begin{aligned}\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4} &= \dfrac{6}{12} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
Règle les quatre nombres de l'atelier : la formule se réécrit toute seule sur le dessin. Remarque au passage que le résultat est plus petit que chacun des deux facteurs : normal, on prend une partie d'une partie.
Règle les quatre nombres de l'atelier : la formule se réécrit toute seule sur le dessin. Remarque au passage que le résultat est plus petit que chacun des deux facteurs : normal, on prend une partie d'une partie.
3/4 × 2/5 = 3 × 2 / 4 × 5 = 6/20 = 3/10
Simplifier avant de multiplier
Inutile d'obtenir de gros nombres ! Pour \dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}, on simplifie en croix : 5 et 10 par 5, 9 et 6 par 3 : \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}.
👆 ▶ À toi : calcule 4/9 × 3/8, simplifie, puis vérifie
Numérateurs : 4 × 3 = 12 ; dénominateurs : 9 × 8 = 72. Donc 12/72, et on divise haut et bas par 12 : 1/6.
🎮 Entraîne-toi : multiplier (résultat simplifié)
Multiplie les deux fractions et donne le résultat sous forme irréductible.
=
/
II. Le signe du résultat
La règle des signes vaut aussi pour les fractions
Pour un produit ou un quotient : deux signes identiques donnent un résultat positif, deux signes différents donnent un résultat négatif.
\begin{aligned}\dfrac{-3}{4}\times\dfrac{2}{5} &= \dfrac{-6}{20} \\ &= \dfrac{-3}{10}\end{aligned} et \begin{aligned}\dfrac{-3}{4}\times\dfrac{-2}{5} &= \dfrac{6}{20} \\ &= \dfrac{3}{10}\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{-3}{4}\times\dfrac{2}{5} &= \dfrac{-6}{20} \\ &= \dfrac{-3}{10}\end{aligned} et \begin{aligned}\dfrac{-3}{4}\times\dfrac{-2}{5} &= \dfrac{6}{20} \\ &= \dfrac{3}{10}\end{aligned}
Une astuce de comptage
Compte le nombre de signes « moins » : s'il est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif. On calcule ensuite avec les valeurs positives.
🎮 Entraîne-toi : le signe du résultat
Sans tout calculer, dis si le résultat est positif ou négatif.
III. Diviser deux fractions
L'inverse d'une fraction
L'inverse de \dfrac{c}{d} (avec c non nul) est \dfrac{d}{c} : on échange numérateur et dénominateur. L'inverse de \dfrac{3}{5} est \dfrac{5}{3} ; l'inverse de 4 est \dfrac{1}{4}.
Diviser, c'est multiplier par l'inverse
\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}. On retourne la deuxième fraction, puis on multiplie comme d'habitude.
2/3 : 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
D'où sort l'inverse ?
Diviser, c'est demander « combien de fois ça tient dedans ? ». Dans une unité, il y a 4 quarts ; donc dans 3/2 d'unité, il y en a 3/2 fois plus, c'est-à-dire {\dfrac{3}{2}\times 4=6}. C'est exactement la règle : on multiplie par l'inverse.
⚠️ On ne retourne QUE la deuxième
Dans \dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{5}, la première fraction ne bouge pas : on écrit \dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}, surtout pas \dfrac{3}{2}\times\dfrac{5}{4}.
👆 ▶ À toi : calcule 7/2 : 7 (diviser par un entier), puis vérifie
7 = 7/1, son inverse est 1/7. Donc 7/2 : 7 = 7/2 × 1/7 = 7/14 = 1/2.
🎮 Entraîne-toi : diviser (résultat simplifié)
Divise en multipliant par l'inverse, puis donne le résultat irréductible.
=
/
IV. Additionner et soustraire (même avec des négatifs)
On accorde d'abord les dénominateurs
On met les deux fractions au même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant ce dénominateur.
\begin{aligned}\dfrac{-3}{4}+\dfrac{5}{8} &= \dfrac{-6}{8}+\dfrac{5}{8} \\ &= \dfrac{-1}{8}\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{-3}{4}+\dfrac{5}{8} &= \dfrac{-6}{8}+\dfrac{5}{8} \\ &= \dfrac{-1}{8}\end{aligned}
⚠️ Le dénominateur ne s'additionne jamais
On additionne les numérateurs, pas les dénominateurs : \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, et non \dfrac{2}{4} qui ne vaut qu'une moitié.
👆 ▶ À toi : calcule −5/6 + 1/3, puis vérifie
On met 1/3 en sixièmes : 1/3 = 2/6. Puis −5/6 + 2/6 = −3/6 = −1/2.
🎮 Entraîne-toi : additionner et soustraire des relatifs
Accorde les dénominateurs, calcule, puis donne le résultat irréductible.
=
/
V. Priorités et parenthèses
Le même ordre que pour les entiers
On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.
3/4 + 2/3 × 1/2 = 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12
⚠️ La multiplication passe avant l'addition
Dans \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}, on ne calcule pas de gauche à droite ! Le produit \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} se fait en premier.
👆 ▶ À toi : calcule (2/3 + 1/3) × 3/4, puis vérifie
La parenthèse d'abord : 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1. Donc 1 × 3/4 = 3/4.
VI. Une fraction d'une quantité
Prendre les a/b d'une quantité
Prendre les \dfrac{a}{b} d'un nombre, c'est le multiplier par \dfrac{a}{b} : on divise par b, puis on multiplie par a (dans l'ordre le plus commode).
Les 3/8 de 32 : 32 : 8 = 4, puis 4 × 3 = 12.
Les 3/8 de 32 : 32 : 8 = 4, puis 4 × 3 = 12.
👆 ▶ À toi : dans un collège de 540 élèves, les 2/9 sont en 4ème. Combien ?
540 : 9 = 60, puis 60 × 2 = 120 élèves.