Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Nombres relatifs
Multiplier, diviser et enchaîner les calculs sans se tromper de signe
I. Multiplier deux relatifs : la règle des signes
En deux temps
Pour multiplier deux relatifs, on procède en deux temps :
1) on trouve le signe du résultat ;
2) on multiplie les deux nombres sans les signes (leurs distances à zéro).
1) on trouve le signe du résultat ;
2) on multiplie les deux nombres sans les signes (leurs distances à zéro).
| On multiplie… | Signe | Exemple |
|---|---|---|
| + par + | + (positif) | 5 × 3 = 15 |
| − par − | + (positif) | (−5) × (−3) = 15 |
| + par − | − (négatif) | 5 × (−3) = −15 |
| − par + | − (négatif) | (−5) × 3 = −15 |
Même signe : positif
(−7) × (−4) = 28
deux − qui se rencontrent donnent un +
Signes contraires : négatif
(−7) × 4 = −28
un seul − : le résultat est négatif
⚠️ Le zéro absorbe tout
Dès qu'un facteur vaut 0, le produit vaut 0 : (−9) × 0 = 0, quel que soit l'autre nombre.
👆 ▶ À toi : calcule (−6) × (−4), puis 8 × (−5), et vérifie
(−6) × (−4) : même signe, donc positif : 24.
8 × (−5) : signes contraires, donc négatif : −40.
8 × (−5) : signes contraires, donc négatif : −40.
🎮 Entraîne-toi : un produit de deux relatifs
Trouve le signe, puis multiplie les distances à zéro.
II. Plusieurs facteurs : compte les moins
La parité décide du signe
Dans un produit de plusieurs relatifs (tous non nuls), on compte le nombre de facteurs négatifs :
nombre pair de « − » : le produit est positif ;
nombre impair de « − » : le produit est négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro.
nombre pair de « − » : le produit est positif ;
nombre impair de « − » : le produit est négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro.
(−2) × (−3) × (−1) × 4 = − 24 : trois « − », c'est impair, donc négatif.
⚠️ Le signe d'abord, la valeur ensuite
Ne mélange pas les deux étapes : décide le signe en comptant les « − », PUIS multiplie 2 × 3 × 1 × 4 = 24. Résultat : −24.
👆 ▶ À toi : quel est le signe de (−2) × (−3) × (−4) ? Et sa valeur ?
Il y a trois facteurs négatifs : impair, donc le résultat est négatif.
Valeur : 2 × 3 × 4 = 24, donc le produit vaut −24.
Valeur : 2 × 3 × 4 = 24, donc le produit vaut −24.
🎮 Entraîne-toi : devine le signe
SANS tout calculer, quel sera le signe de ce produit ?
III. Diviser des relatifs
Même règle des signes
La division suit exactement la même règle des signes que la multiplication : même signe donne un quotient positif, signes contraires un quotient négatif.
Même signe : positif
(−48) : (−6) = 8
48 divisé par 6 fait 8, et le signe est +
Signes contraires : négatif
(−48) : 6 = −8
48 divisé par 6 fait 8, mais le signe est −
👆 ▶ À toi : calcule (−56) : (−7), puis 45 : (−9), et vérifie
(−56) : (−7) : même signe, positif : 8.
45 : (−9) : signes contraires, négatif : −5.
45 : (−9) : signes contraires, négatif : −5.
🎮 Entraîne-toi : une division de relatifs
Même méthode : le signe, puis le quotient des distances à zéro.
IV. Enchaîner : priorités et parenthèses
L'ordre des opérations
Dans un calcul mélangé, on respecte toujours cet ordre :
1) les parenthèses d'abord ;
2) les multiplications et les divisions ;
3) enfin les additions et les soustractions.
1) les parenthèses d'abord ;
2) les multiplications et les divisions ;
3) enfin les additions et les soustractions.
−5 + (−3) × 4 = −5 + (−12) = −17 : la multiplication passe avant l'addition.
⚠️ Un « − » devant une parenthèse
Pour −3 − (−5) + 2 × (−4) : on transforme d'abord les signes qui se suivent et on fait la multiplication, ce qui donne −3 + 5 − 8 = −6.
👆 ▶ À toi : calcule (−7 + 3) × (−2), puis vérifie
Parenthèse d'abord : −7 + 3 = −4.
Puis (−4) × (−2) : même signe, positif : 8.
Puis (−4) × (−2) : même signe, positif : 8.
🎮 Entraîne-toi : un enchaînement
Parenthèses, puis × et :, puis + et −.
V. Avec des nombres décimaux
La règle des signes ne change pas
Un relatif peut être décimal : la règle des signes est la même. On trouve le signe, puis on multiplie (ou on divise) comme d'habitude.
Exemple : (−2,5) × 4 : signes contraires, et 2,5 × 4 = 10, donc −10.
Exemple : (−2,5) × 4 : signes contraires, et 2,5 × 4 = 10, donc −10.
👆 ▶ À toi : calcule (−0,5) × (−6), puis vérifie
Même signe, donc positif : 0,5 × 6 = 3, donc le résultat vaut 3.
🎮 Entraîne-toi : un produit décimal
Un facteur porte une virgule : la méthode ne change pas.