Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Probabilités
Vocabulaire, équiprobabilité et événement contraire
I. Le vocabulaire du hasard
Expérience aléatoire, issue, événement
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue…). Chaque résultat possible est une issue. Un événement est un ensemble d'issues qui nous intéresse.
Exemple : on lance un dé à 6 faces. Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'événement « obtenir un nombre pair » rassemble les issues 2, 4, 6.
Exemple : on lance un dé à 6 faces. Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'événement « obtenir un nombre pair » rassemble les issues 2, 4, 6.
Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure sa chance de se produire. Elle est comprise entre 0 et 1 : plus elle est proche de 1, plus l'événement est probable.
II. Calculer une probabilité (équiprobabilité)
Propriété : cas favorables sur cas possibles
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce non truquée, roue à secteurs identiques…), on dit qu'il y a équiprobabilité, et :
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.
\begin{aligned}P(\text{obtenir un nombre pair}) &= \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} (3 issues favorables : 2, 4, 6, sur 6 issues possibles).
👆 ▶ À toi : sur ce même dé, quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ? Vérifie
Les multiples de 3 dans \{1;2;3;4;5;6\} sont 3 et 6, soit 2 issues favorables : \begin{aligned}P &= \dfrac26 \\ &= \dfrac13\end{aligned}.
🎮 Entraîne-toi : la probabilité d'un événement
Donne la fraction NON simplifiée : cas favorables en haut, cas possibles en bas.
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III. Une probabilité est entre 0 et 1
Propriété : les bornes
Pour tout événement A : {0 \leqslant P(A) \leqslant 1}.
L'événement certain (qui se produit à coup sûr) a une probabilité de 1. L'événement impossible (qui ne peut jamais arriver) a une probabilité de 0.
L'événement certain (qui se produit à coup sûr) a une probabilité de 1. L'événement impossible (qui ne peut jamais arriver) a une probabilité de 0.
Sur un dé à 6 faces
« Obtenir un nombre entre 1 et 6 » : certain, P = 1.
« Obtenir un 7 » : impossible, P = 0.
« Obtenir un 4 » : possible, P = \dfrac16 (entre 0 et 1).
« Obtenir un 7 » : impossible, P = 0.
« Obtenir un 4 » : possible, P = \dfrac16 (entre 0 et 1).
🎮 Entraîne-toi : certain, impossible ou possible ?
On lance un dé à 6 faces. Range l'événement dans la bonne catégorie.
IV. L'événement contraire
Théorème
L'événement contraire de A, noté \bar{A} (« non A »), se produit exactement quand A ne se produit pas. On a : P(\bar{A}) = 1 - P(A).
\begin{aligned}P(\text{ne pas obtenir 6}) &= 1 - \dfrac16 \\ &= \dfrac56\end{aligned}.
👆 ▶ À toi : la probabilité qu'il pleuve demain est 0,3. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ? Vérifie
1 - 0{,}3 = \mathbf{0{,}7}. Les deux probabilités s'ajoutent bien à 1 : 0{,}3 + 0{,}7 = 1.
🎮 Entraîne-toi : l'événement contraire
P(contraire) = 1 moins P. Réponds en écriture décimale (avec une virgule).
V. Les grands classiques : dé, pièce, urne, roue, cartes
On compte toujours favorables / possibles
La méthode est toujours la même tant que les issues sont équiprobables : on compte les cas favorables et on divise par le nombre total de cas possibles.
| Support | Cas possibles | Exemple d'événement | Probabilité |
|---|---|---|---|
| Pièce | 2 (Pile, Face) | obtenir Pile | 1/2 |
| Dé à 6 faces | 6 | obtenir un 5 | 1/6 |
| Jeu de 32 cartes | 32 | tirer un cœur (8 cœurs) | 8/32 = 1/4 |
| Urne de 10 boules | 10 | tirer une des 3 rouges | 3/10 |
Les 8 secteurs sont identiques : on est en situation d'équiprobabilité. \begin{aligned}P(\text{rose}) &= \dfrac48 \\ &= \dfrac12\end{aligned}
VI. Fréquence et probabilité
Deux nombres différents
La probabilité est un nombre théorique, connu à l'avance par le calcul (par exemple \dfrac16 pour chaque face d'un dé).
La fréquence est un nombre observé, calculé APRÈS avoir répété l'expérience : f = \dfrac{\text{nombre de réalisations}}{\text{nombre d'essais}}.
La fréquence est un nombre observé, calculé APRÈS avoir répété l'expérience : f = \dfrac{\text{nombre de réalisations}}{\text{nombre d'essais}}.
La fréquence se stabilise
En répétant l'expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique : c'est pour ça qu'un dé lancé 1 000 fois donne le 6 environ \dfrac16 du temps.
🎮 Entraîne-toi : fréquence observée ou probabilité théorique ?
Un nombre OBSERVÉ après l'expérience, ou THÉORIQUE et connu d'avance ?
VII. Les pièges du chapitre
⚠️ « Au hasard » ne veut pas dire équiprobable
La formule favorables / possibles n'est valable que si toutes les issues ont la même chance. Sur une roue à secteurs de tailles différentes ou un dé truqué, il faut compter autrement.
⚠️ Une probabilité ne dépasse jamais 1
Un résultat comme 1{,}3 ou \dfrac{7}{6} est forcément faux : on a dû se tromper de dénominateur (le total des cas possibles).
⚠️ Ne pas oublier le total
Dans un sac de 4 rouges et 6 vertes, le total est 10 (pas 6) : \begin{aligned}P(\text{rouge}) &= \dfrac{4}{10} \\ &= \dfrac25\end{aligned} surtout pas \dfrac46.
👆 ▶ À toi : un sac contient 2 boules rouges et 3 vertes. Donne P(rouge), puis P(ne pas tirer une rouge). Vérifie
5 boules en tout, 2 rouges : P(\text{rouge}) = \dfrac25.
Événement contraire : 1 - \dfrac25 = \dfrac35 (c'est aussi P(\text{verte}), et \dfrac25 + \dfrac35 = 1).
Événement contraire : 1 - \dfrac25 = \dfrac35 (c'est aussi P(\text{verte}), et \dfrac25 + \dfrac35 = 1).