Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Proportionnalité
Produit en croix, pourcentages, vitesse et échelle
I. Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
| Nombre de croissants | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 3 | 7,50 | 12 |
Le test : on divise la 2ᵉ ligne par la 1ʳᵉ
3 : 2 = 1,5 ; 7,50 : 5 = 1,5 ; 12 : 8 = 1,5.
Toujours le même quotient : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5 (le prix d'un croissant !).
Toujours le même quotient : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5 (le prix d'un croissant !).
⚠️ Tout n'est pas proportionnel
À 10 ans on mesure 1,40 m ; à 20 ans, on ne mesure pas 2,80 m ! La taille n'est pas proportionnelle à l'âge. On vérifie toujours les quotients avant d'utiliser les méthodes de proportionnalité.
👆 ▶ À toi : le tableau (haut : 3 puis 7) et (bas : 12 puis 28) est-il proportionnel ? Vérifie
12 : 3 = 4 et 28 : 7 = 4 : même coefficient, oui, il est proportionnel (coefficient 4).
🎮 Entraîne-toi : proportionnel ou pas ?
Compare les deux quotients (bas divisé par haut) de chaque colonne.
II. Quatrième proportionnelle et produit en croix
Le produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité où il manque une valeur x :
on calcule x = \dfrac{b \times c}{a} (on multiplie « en croix », puis on divise par la valeur restante).
| a | c |
| b | x |
Exemple
4 kg de pommes coûtent 6 €. Combien coûtent 7 kg ?
\begin{aligned}x &= \dfrac{6 \times 7}{4} \\ &= \dfrac{42}{4} \\ &= 10{,}5\end{aligned} €.
\begin{aligned}x &= \dfrac{6 \times 7}{4} \\ &= \dfrac{42}{4} \\ &= 10{,}5\end{aligned} €.
👆 ▶ À toi : 5 stylos coûtent 4 €. Combien coûtent 8 stylos ? Vérifie
Produit en croix : \begin{aligned}x &= \dfrac{4 \times 8}{5} \\ &= \dfrac{32}{5} \\ &= 6{,}4\end{aligned} €.
🎮 Entraîne-toi : le produit en croix
x = (prix connu × quantité demandée) divisé par la quantité connue.
€
III. Les pourcentages
Appliquer t % à une quantité
Prendre t\,\% d'une quantité N, c'est calculer \dfrac{t}{100} \times N.
30 % de 250 = \begin{aligned}\dfrac{30}{100} \times 250 &= 0{,}30 \times 250 \\ &= 75\end{aligned}
30 % de 250 = \begin{aligned}\dfrac{30}{100} \times 250 &= 0{,}30 \times 250 \\ &= 75\end{aligned}
Les raccourcis à connaître par cœur
50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = le dixième ; 1 % = le centième ; 75 % = les trois quarts.
Calculer un pourcentage
Dans une classe, 21 élèves sur 28 sont demi-pensionnaires : \begin{aligned}\dfrac{21}{28} &= 0{,}75 \\ &= \dfrac{75}{100}\end{aligned} soit 75 %.
👆 ▶ À toi : calcule 15 % de 220 €. Vérifie
\begin{aligned}\dfrac{15}{100} \times 220 &= 0{,}15 \times 220 \\ &= 33\end{aligned} €.
🎮 Entraîne-toi : appliquer un pourcentage
t % de N, c'est (t divisé par 100) × N.
IV. Augmentation et diminution en pourcentage
Le coefficient multiplicateur
Augmenter de t\,\% revient à multiplier par 1 + \dfrac{t}{100} ; diminuer de t\,\% revient à multiplier par 1 - \dfrac{t}{100}.
Exemple
Un article à 80 € augmente de 15 % : coefficient 1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15, nouveau prix 80 \times 1{,}15 = 92 €.
S'il baissait de 15 % : coefficient {1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85}, prix 80 \times 0{,}85 = 68 €.
S'il baissait de 15 % : coefficient {1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85}, prix 80 \times 0{,}85 = 68 €.
👆 ▶ À toi : un jean à 60 € est soldé à −20 %. Quel est le nouveau prix ? Vérifie
Coefficient d'une baisse de 20 % : {1 - \dfrac{20}{100} = 0{,}8}.
Nouveau prix : 60 \times 0{,}8 = 48 €.
Nouveau prix : 60 \times 0{,}8 = 48 €.
🎮 Entraîne-toi : nouveau prix après évolution
Multiplie par le coefficient : 1 + t/100 pour une hausse, 1 − t/100 pour une baisse.
€
🎮 Entraîne-toi : reconnaître le coefficient
Allume les coefficients demandés, puis valide (sélection multiple).
V. Grandeurs composées : vitesse, débit, échelle, densité
Vitesse moyenne
La distance est proportionnelle au temps (à vitesse fixée) : v = \dfrac{d}{t}, d'où d = v \times t et t = \dfrac{d}{v}.
210 km en 3 h : \begin{aligned}v &= \dfrac{210}{3} \\ &= 70\end{aligned} km/h.
210 km en 3 h : \begin{aligned}v &= \dfrac{210}{3} \\ &= 70\end{aligned} km/h.
Débit et densité, même idée
Le débit relie un volume et un temps : D = \dfrac{V}{t} (par exemple en L/min). La densité (ou masse volumique) relie une masse et un volume : \rho = \dfrac{m}{V} (par exemple en g/cm³). Ce sont toujours des coefficients de proportionnalité entre deux grandeurs.
L'échelle d'un plan
L'échelle est le coefficient de proportionnalité entre une longueur sur le plan et la longueur réelle (dans la même unité) : \text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}.
À l'échelle \dfrac{1}{500}, 1 cm sur le plan représente 500 cm (soit 5 m) en réalité.
À l'échelle \dfrac{1}{500}, 1 cm sur le plan représente 500 cm (soit 5 m) en réalité.
⚠️ Convertis avant de calculer
Pour la vitesse, le temps est en heures : 1 h 30, c'est 1,5 h (et non 1,3 h), car 30 min = 0,5 h. De même 15 min = 0,25 h et 45 min = 0,75 h.
Pour une échelle, on convertit d'abord toutes les longueurs dans la même unité.
Pour une échelle, on convertit d'abord toutes les longueurs dans la même unité.
👆 ▶ À toi : sur un plan au 1/200, un mur mesure 6 cm. Longueur réelle en mètres ? Vérifie
6 \times 200 = 1200 cm = 12 m.
🎮 Entraîne-toi : vitesse, distance, temps
v = d divisé par t, d = v × t, t = d divisé par v (temps en heures).
🎮 Entraîne-toi : les échelles
Longueur réelle = longueur sur le plan × dénominateur de l'échelle.
m
VI. La représentation graphique
Une droite qui passe par l'origine
Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l'origine du repère. Réciproquement, si les points sont alignés avec l'origine, les deux grandeurs sont proportionnelles.
VII. Les pièges du chapitre
⚠️ Une droite ne suffit pas
La droite doit passer par l'origine. Un tarif avec une part fixe (un abonnement) donne aussi une droite, mais elle coupe l'axe vertical plus haut : ce n'est pas une situation de proportionnalité.
⚠️ Prendre t % n'est pas enlever t %
Calculer 20 % de 60 (c'est 12) n'est pas la même chose que baisser 60 de 20 % (c'est 60 - 12 = 48). Lis bien si on demande la part ou la valeur après évolution.
⚠️ Le coefficient a une unité
Un coefficient de proportionnalité a souvent un sens concret : un prix au kg (en €/kg), une vitesse (en km/h), une masse volumique (en g/cm³). Garde l'unité en tête, elle t'aide à vérifier ton résultat.