Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Statistiques
Effectifs, fréquences, moyenne, étendue et diagrammes
I. Effectifs et fréquences
Effectif, effectif total, fréquence
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total : {f = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}, souvent exprimée en pourcentage.
| Sport | Foot | Danse | Natation | Autre | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 10 | 5 | 7 | 3 | 25 |
| Fréquence | 40 % | 20 % | 28 % | 12 % | 100 % |
Calculer une fréquence en %
On divise l'effectif par l'effectif total, puis on multiplie par 100.
Foot : 10 : 25 = 0,4 = 40 %. Contrôle malin : la ligne des fréquences doit toujours totaliser 100 %.
Foot : 10 : 25 = 0,4 = 40 %. Contrôle malin : la ligne des fréquences doit toujours totaliser 100 %.
👆 ▶ À toi : dans une classe, 9 élèves sur 30 sont demi-pensionnaires. Quelle fréquence en % ? Vérifie
9 : 30 = 0,3 = 30 %.
🎮 Entraîne-toi : les fréquences
Calcule la fréquence en % (résultat entier).
%
II. La moyenne simple
Moyenne d'une série
La moyenne d'une série vaut : {\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}}.
Exemple
Températures relevées sur 5 jours : 12 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10 (en °C).
Moyenne : (12 + 15 + 9 + 14 + 10) : 5 = 60 : 5 = 12 °C.
Moyenne : (12 + 15 + 9 + 14 + 10) : 5 = 60 : 5 = 12 °C.
La moyenne, c'est le point d'équilibre
Pose les valeurs sur une planche et cherche où placer le pivot pour que tout tienne droit : ce point, c'est la moyenne.
Ce que la balance rend visible : la somme des écarts à gauche est égale à la somme des écarts à droite. La moyenne compense les uns par les autres.
Ce que la balance rend visible : la somme des écarts à gauche est égale à la somme des écarts à droite. La moyenne compense les uns par les autres.
🎮 Entraîne-toi : la moyenne simple
Additionne toutes les valeurs, puis divise par leur nombre (résultat entier).
III. La moyenne pondérée
Moyenne pondérée par les effectifs
Quand les valeurs se répètent, on ne les recopie pas une à une : on multiplie chaque valeur par son effectif.
\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}, où les x_i sont les valeurs et les n_i leurs effectifs.
\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}, où les x_i sont les valeurs et les n_i leurs effectifs.
Exemple
Notes : 8 (effectif 2), 12 (effectif 3), 15 (effectif 5).
\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{8\times 2 + 12\times 3 + 15\times 5}{2 + 3 + 5} \\ &= \dfrac{16 + 36 + 75}{10} \\ &= \dfrac{127}{10} \\ &= 12{,}7\end{aligned}
\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{8\times 2 + 12\times 3 + 15\times 5}{2 + 3 + 5} \\ &= \dfrac{16 + 36 + 75}{10} \\ &= \dfrac{127}{10} \\ &= 12{,}7\end{aligned}
👆 ▶ À toi : notes 6 (effectif 4), 10 (effectif 5), 14 (effectif 1). Moyenne ? Vérifie
\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{6\times 4 + 10\times 5 + 14\times 1}{4 + 5 + 1} \\ &= \dfrac{24 + 50 + 14}{10} \\ &= \dfrac{88}{10} \\ &= \mathbf{8{,}8}\end{aligned}
⚠️ L'erreur classique : la moyenne des moyennes
Deux classes n'ont pas le même nombre d'élèves ? Alors leurs deux moyennes ne pèsent pas pareil.
Fais varier les effectifs ci-dessous : la classe la plus nombreuse tire la moyenne de son côté. Les deux calculs ne tombent d'accord que dans un seul cas, quand les deux effectifs sont égaux.
Fais varier les effectifs ci-dessous : la classe la plus nombreuse tire la moyenne de son côté. Les deux calculs ne tombent d'accord que dans un seul cas, quand les deux effectifs sont égaux.
🎮 Entraîne-toi : la moyenne pondérée
Multiplie chaque note par son effectif avant d'additionner, puis divise par l'effectif total.
IV. L'étendue
Étendue
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \text{Étendue} = \text{Max} - \text{Min}. Elle mesure la dispersion : plus elle est petite, plus les valeurs sont resserrées.
Exemple : série 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14, étendue = 14 - 8 = 6.
Exemple : série 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14, étendue = 14 - 8 = 6.
Lire une série sur un graphique
Sur un graphique, l'étendue se voit : c'est la hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas.
Deux questions se ressemblent mais ne veulent pas dire la même chose : « quand la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « quand la hausse est-elle la plus forte ? » (le segment le plus raide).
Deux questions se ressemblent mais ne veulent pas dire la même chose : « quand la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « quand la hausse est-elle la plus forte ? » (le segment le plus raide).
🎮 Entraîne-toi : l'étendue
Cherche le maximum et le minimum, puis soustrais.
V. La médiane
Médiane
La médiane m_e d'une série ordonnée partage la série en deux groupes de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au dessus.
Trouver la médiane
On ordonne d'abord la série. Si l'effectif est impair, m_e est la valeur centrale ; s'il est pair, m_e est le milieu des deux valeurs centrales.
Exemple : série ordonnée 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 15 donne m_e = 9.
Exemple : série ordonnée 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 15 donne m_e = 9.
Ajouter une valeur extrême : qui bouge, qui ne bouge pas ?
Tire le jeton le plus à droite jusqu'au bout de l'axe et surveille les deux repères sous l'axe :
la moyenne (en vert) part avec lui, la médiane (en orange) ne bouge presque pas.
La moyenne tient compte de la valeur de chaque donnée ; la médiane ne tient compte que de leur rang. C'est toute la différence.
la moyenne (en vert) part avec lui, la médiane (en orange) ne bouge presque pas.
La moyenne tient compte de la valeur de chaque donnée ; la médiane ne tient compte que de leur rang. C'est toute la différence.
🎮 Entraîne-toi : la médiane
La série est déjà ordonnée : repère la valeur centrale.
VI. Tableaux et diagrammes
Lire et construire un diagramme en bâtons
Dans un diagramme en bâtons, la hauteur de chaque bâton donne l'effectif (ou la fréquence) de la valeur. Pour un histogramme, les données sont regroupées en classes et c'est l'aire des rectangles qui représente l'effectif.
Trois représentations, une seule série
Un tableau, un diagramme en bâtons et un diagramme circulaire ne disent pas trois choses différentes : ils disent la même chose, autrement.
Règle un effectif ci-dessous (tire le haut d'un bâton, ou clique sur − et +) et regarde : le bâton, le secteur et les trois lignes du tableau bougent en même temps.
Règle un effectif ci-dessous (tire le haut d'un bâton, ou clique sur − et +) et regarde : le bâton, le secteur et les trois lignes du tableau bougent en même temps.
L'angle d'un secteur circulaire
Dans un diagramme circulaire, le disque entier (360°) représente l'effectif total : chaque secteur est proportionnel à son effectif.
Sur 40 élèves, 20 viennent en bus : angle = 20 × (360 : 40) = 20 × 9 = 180° (la moitié du disque).
Formule à retenir : {\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}. Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
Sur 40 élèves, 20 viennent en bus : angle = 20 × (360 : 40) = 20 × 9 = 180° (la moitié du disque).
Formule à retenir : {\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}. Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
👆 ▶ À toi : sur 24 élèves, 8 déjeunent à la cantine. Quel angle de secteur ? Vérifie
360 : 24 = 15° par élève, donc 8 × 15 = 120° (le tiers du disque, logique : 8 est le tiers de 24).
🎮 Entraîne-toi : l'angle du secteur
Calcule l'angle en degrés (résultat entier).
°
VII. Les pièges du chapitre
⚠️ La moyenne pondérée n'oublie personne
On divise par l'effectif total (la somme des effectifs), jamais par le nombre de valeurs différentes. Avec 8 (effectif 2), 12 (effectif 3) et 15 (effectif 5), on divise 127 par 10 (les 10 notes), pas par 3 !
⚠️ Fréquence et pourcentage
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (soit entre 0 % et 100 %) : elle ne peut être ni négative, ni supérieure à 100 %. Pense au contrôle : la somme des fréquences fait 100 %.
⚠️ Ordonner AVANT de chercher la médiane
La médiane se lit sur la série rangée dans l'ordre croissant. Et attention : médiane et moyenne sont deux indicateurs différents, qui n'ont aucune raison d'être égaux.
👆 ▶ Bilan : série 9 ; 13 ; 8 ; 15 ; 10. Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue. Vérifie
Moyenne : (9 + 13 + 8 + 15 + 10) : 5 = 55 : 5 = 11.
Médiane : on ordonne d'abord : 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 15. Cinq valeurs (impair) : m_e = 10.
Étendue : 15 - 8 = 7.
Médiane : on ordonne d'abord : 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 15. Cinq valeurs (impair) : m_e = 10.
Étendue : 15 - 8 = 7.