Fiche de cours Logimaths | 4ème
Fiche de cours : Translation
Le glissement, l'image d'un point et les vecteurs
I. Qu'est-ce qu'une translation ?
Définition
Une translation fait glisser une figure sans la déformer ni la tourner. Tous ses points se déplacent de la même façon, c'est-à-dire selon une même direction, un même sens et une même longueur.
La translation GARDE
🧊 la forme
longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme, orientation
La translation CHANGE
📍 la position
la figure est juste déplacée, ailleurs sur le plan
⚠️ Glisser, ce n'est ni tourner ni retourner
Après une translation, la figure regarde toujours dans le même sens : elle n'est ni pivotée (rotation) ni renversée en miroir (symétrie). Un simple glissement, comme un traîneau sur la neige.
II. Image d'un point sur un quadrillage
Méthode : construire l'image d'un point
On repère le déplacement de la translation (par exemple « 3 carreaux vers la droite et 2 vers le haut »), puis on applique exactement le même déplacement à partir du point à transformer.
A(1 ; 1) + (3 ; 2) = A'(4 ; 3)
👆 ▶ À toi : la translation « 5 vers la droite, 3 vers le bas » transforme P(2 ; 4). Coordonnées de P' ? Vérifie
On ajoute +5 en abscisse et −3 en ordonnée : P'(2 + 5 ; 4 − 3) = P'(7 ; 1).
🎮 Entraîne-toi : l'image d'un point
La translation qui transforme A en B transforme M en M'. Complète les coordonnées de M'.
M' (
;
)
III. Caractériser une translation par deux points
La translation qui transforme A en B
Une translation est entièrement décrite par un point de départ et son image : on parle de la translation qui transforme A en B. Le déplacement se lit alors sur le couple (A ; B) : c'est le vecteur \overrightarrow{AB}.
⚠️ Le sens compte : AB n'est pas BA
\overrightarrow{AB} va de A vers B, tandis que \overrightarrow{BA} va de B vers A : même direction et même longueur, mais sens opposé. On ne les confond jamais.
👆 ▶ À toi : la translation qui transforme A(1 ; 2) en B(6 ; 5) correspond à quel déplacement ? Vérifie
De A à B : 6 − 1 = +5 en abscisse et 5 − 2 = +3 en ordonnée. Le vecteur \overrightarrow{AB} décrit « +5 ; +3 ».
IV. Ce que la translation conserve
Propriété
La translation conserve les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ ; l'image d'un segment est un segment de même longueur ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
| Objet de départ | Son image par translation |
|---|---|
| un segment de 4 cm | un segment de 4 cm, parallèle |
| un angle de 50° | un angle de 50° |
| une figure d'aire 12 cm² | une figure d'aire 12 cm² |
| une droite | une droite parallèle |
| un cercle de rayon 3 cm | un cercle de rayon 3 cm |
👆 ▶ À toi : un triangle de périmètre 15 cm et d'angle 40° subit une translation. Périmètre et angle de l'image ? Vérifie
La translation ne déforme rien : le périmètre reste 15 cm et l'angle reste 40°.
🎮 Entraîne-toi : vrai ou faux ?
Une translation est une isométrie : elle glisse la figure sans rien déformer.
V. Les vecteurs
Définition : un vecteur
Un vecteur décrit un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur. On le dessine avec une flèche et on le note \vec{u} ou \overrightarrow{AB} (de A vers B).
Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Peu importe où ils sont dessinés : un même vecteur peut être reporté n'importe où sur le plan.
Vecteurs et parallélogramme
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} si, et seulement si, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. C'est l'outil clé pour démontrer qu'une figure est un parallélogramme.
👆 ▶ À toi : les vecteurs AB et CD sont égaux. Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Vérifie
C'est un parallélogramme : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} signifie que [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur.
🎮 Entraîne-toi : deux vecteurs égaux ?
Compare les déplacements de A vers B et de C vers D.
🎮 Entraîne-toi : compléter un parallélogramme
ABDC est un parallélogramme : le vecteur AB est égal au vecteur CD. Trouve D.
D (
;
)
VI. Les pièges du chapitre
⚠️ Le vecteur nul ne déplace rien
La translation de vecteur nul \vec{0} laisse chaque point à sa place : l'image d'une figure est la figure elle-même (c'est l'identité).
⚠️ Image d'une droite : parallèle, pas confondue au hasard
L'image d'une droite par une translation est toujours parallèle à la droite de départ (et confondue avec elle seulement si le déplacement suit cette droite). Jamais perpendiculaire !
👆 ▶ À toi : peut-on dire qu'une translation agrandit une figure ? Vérifie
Non : une translation ne change ni la taille ni la forme. Agrandir ou réduire, c'est le rôle d'une homothétie (vue en 3ème), pas d'une translation.