Fiche de cours Logimaths | 5ème
Fiche de cours : Divisibilité
Division euclidienne, multiples, diviseurs et nombres premiers
I. La division euclidienne
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Diviser 87 par 5, c'est chercher combien de fois 5 tient dans 87 : 17 fois, et il reste 2.
87 = 5 × 17 + 2
dividende = diviseur × quotient + reste
dividende = diviseur × quotient + reste
⚠️ Le reste est toujours plus petit que le diviseur
Écrire 87 = 5 × 16 + 7 est vrai… mais ce n'est PAS la division euclidienne : avec un reste de 7, on peut encore caser un paquet de 5 !
Diviser par un nombre décimal
On décale la virgule des DEUX côtés jusqu'à ce que le diviseur soit entier :
1,8 : 0,3 = 18 : 3 = 6.
1,8 : 0,3 = 18 : 3 = 6.
👆 ▶ À toi : écris la division euclidienne de 94 par 7, puis vérifie
Dans 94, 7 tient 13 fois (7 × 13 = 91), et il reste 3.
94 = 7 × 13 + 3, avec 3 < 7 : c'est bien elle.
94 = 7 × 13 + 3, avec 3 < 7 : c'est bien elle.
🎮 Entraîne-toi : la division euclidienne
Trouve le quotient et le reste.
quotient
, reste
II. Multiples et diviseurs
Trois mots pour une même égalité
Comme 63 = 9 × 7 (division qui tombe juste, reste zéro) :
- 9 et 7 sont des diviseurs de 63 ;
- 63 est un multiple de 9 et de 7 ;
- 63 est divisible par 9 et par 7.
Trouver TOUS les diviseurs : chasse par couples
Pour 20 : 1 × 20, 2 × 10, 4 × 5… et c'est tout (3 ne divise pas 20).
Les diviseurs de 20 sont donc 1, 2, 4, 5, 10 et 20 : chaque produit en donne deux d'un coup !
Les diviseurs de 20 sont donc 1, 2, 4, 5, 10 et 20 : chaque produit en donne deux d'un coup !
👆 ▶ À toi : trouve tous les diviseurs de 18, puis vérifie
1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 : les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
🎮 Entraîne-toi : reconnaître un multiple
Réponds à la question.
III. Les critères de divisibilité
| Divisible par… | On regarde… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le chiffre des unités (0, 2, 4, 6, 8) | 574 ✔ |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres (divisible par 4) | 1 316 → 16 = 4 × 4 ✔ |
| 5 | le chiffre des unités (0 ou 5) | 835 ✔ |
| 10 | le chiffre des unités (0) | 1 260 ✔ |
| 3 | la somme des chiffres (divisible par 3) | 741 → 7 + 4 + 1 = 12 ✔ |
| 9 | la somme des chiffres (divisible par 9) | 738 → 7 + 3 + 8 = 18 ✔ |
⚠️ Par 3 ne veut pas dire par 9
741 : somme des chiffres 12, divisible par 3 mais pas par 9.
Donc 741 est divisible par 3… mais pas par 9. L'inverse, lui, marche toujours : divisible par 9 ⇒ divisible par 3.
Donc 741 est divisible par 3… mais pas par 9. L'inverse, lui, marche toujours : divisible par 9 ⇒ divisible par 3.
⚠️ Pair ne veut pas dire divisible par 4
Pour 4, le chiffre des unités ne suffit pas : on regarde les deux derniers chiffres.
514 : pair, mais 14 n'est pas divisible par 4, donc 514 ne l'est pas non plus.
516 : 16 = 4 × 4, donc 516 est divisible par 4. Comme pour 9 et 3 : divisible par 4 ⇒ divisible par 2.
514 : pair, mais 14 n'est pas divisible par 4, donc 514 ne l'est pas non plus.
516 : 16 = 4 × 4, donc 516 est divisible par 4. Comme pour 9 et 3 : divisible par 4 ⇒ divisible par 2.
👆 ▶ À toi : 2 340 est-il divisible par 2 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ? Puis vérifie
Il finit par 0 : divisible par 2, par 5 (et par 10).
Deux derniers chiffres : 40 = 4 × 10 : divisible par 4.
Somme des chiffres : 2 + 3 + 4 + 0 = 9 : divisible par 9 aussi. Carton plein !
Deux derniers chiffres : 40 = 4 × 10 : divisible par 4.
Somme des chiffres : 2 + 3 + 4 + 0 = 9 : divisible par 9 aussi. Carton plein !
🎮 Entraîne-toi : les critères
Allume TOUS les diviseurs du nombre parmi les six proposés, puis valide.
IV. Les nombres premiers
Définition
Un nombre entier est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
1 n'est pas premier (un seul diviseur), et la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais.
1 n'est pas premier (un seul diviseur), et la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais.
les premiers jusqu'à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
👆 ▶ À toi : 51 est-il premier ? Puis vérifie
Somme des chiffres : 5 + 1 = 6, divisible par 3 : donc 51 = 3 × 17.
Non, 51 n'est pas premier : il avait pourtant la tête de l'emploi !
Non, 51 n'est pas premier : il avait pourtant la tête de l'emploi !
🎮 Entraîne-toi : premier ou pas ?
Ce nombre est-il premier ? (Pense aux critères de divisibilité.)