Fiche d'exercices Logimaths | 5ème
Fiche d'exercices : Parallélogrammes
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Condition, conclusion, réciproque⭐
On considère la propriété : « Si ABCD est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. »
- Quelle est la condition ? la conclusion ?
- Énonce la réciproque.
- La réciproque est-elle vraie ? (Pense au cerf-volant…)
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Condition : « ABCD est un losange » ; conclusion : « ses diagonales sont perpendiculaires ».
2. « Si les diagonales de ABCD sont perpendiculaires, alors ABCD est un losange. »
3. Fausse : un cerf-volant a des diagonales perpendiculaires sans être un losange.
2. « Si les diagonales de ABCD sont perpendiculaires, alors ABCD est un losange. »
3. Fausse : un cerf-volant a des diagonales perpendiculaires sans être un losange.
Exercice 2 : Les propriétés en calcul⭐
EFGH est un parallélogramme de centre O, avec EF = 9 cm, FG = 6 cm, EG = 10 cm et l'angle en E de 118°.
- Donne GH, EH et le périmètre de EFGH.
- Que vaut EO ?
- Que mesure l'angle en G ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. GH = EF = 9 cm ; EH = FG = 6 cm ; périmètre = 2 × (9 + 6) = 30 cm.
2. O est le milieu de la diagonale [EG] : EO = 10 : 2 = 5 cm.
3. Angles opposés égaux : angle G = 118°.
2. O est le milieu de la diagonale [EG] : EO = 10 : 2 = 5 cm.
3. Angles opposés égaux : angle G = 118°.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Trois constructions⭐⭐
Décris (puis réalise) trois façons de construire un parallélogramme ABCD connaissant A, B et C :
- avec la règle et l'équerre (parallèles) ;
- avec le compas (longueurs) ;
- avec le milieu des diagonales.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. On trace la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (BC) passant par A : D est à leur intersection (côtés opposés parallèles).
2. Arc de centre C de rayon AB, arc de centre A de rayon BC : D est au croisement (côtés opposés égaux).
3. On place O, milieu de [AC], puis D tel que O soit AUSSI le milieu de [BD] (les diagonales se coupent en leur milieu).
2. Arc de centre C de rayon AB, arc de centre A de rayon BC : D est au croisement (côtés opposés égaux).
3. On place O, milieu de [AC], puis D tel que O soit AUSSI le milieu de [BD] (les diagonales se coupent en leur milieu).
Exercice 4 : Peut-on conclure ?⭐⭐
Pour chaque quadrilatère (non croisé), dis si on peut affirmer que c'est un parallélogramme :
- RSTU : ses diagonales [RT] et [SU] ont le même milieu.
- VWXY : VW = XY = 5 cm (et rien d'autre).
- JKLM : (JK) // (ML) et JK = ML.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Oui : diagonales de même milieu, c'est la porte d'entrée n°2.
2. Non : deux côtés opposés égaux SANS parallélisme ne suffisent pas (pense à un trapèze isocèle !).
3. Oui : deux côtés opposés parallèles ET de même longueur, porte n°3.
2. Non : deux côtés opposés égaux SANS parallélisme ne suffisent pas (pense à un trapèze isocèle !).
3. Oui : deux côtés opposés parallèles ET de même longueur, porte n°3.
Exercice 5 : La famille royale⭐⭐
Trouve le quadrilatère le plus précis à chaque fois :
- Un parallélogramme dont les diagonales mesurent toutes deux 7 cm.
- Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
- Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.
- Un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Diagonales de même longueur : rectangle.
2. Diagonales perpendiculaires : losange.
3. Les deux à la fois : carré.
4. Rectangle + côtés consécutifs égaux → les 4 côtés égaux : carré.
2. Diagonales perpendiculaires : losange.
3. Les deux à la fois : carré.
4. Rectangle + côtés consécutifs égaux → les 4 côtés égaux : carré.
Exercice 6 : Vrai ou faux ?⭐⭐
- Tout losange est un parallélogramme.
- Tout parallélogramme est un losange.
- Tout carré est un rectangle.
- Un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Vrai : 4 côtés égaux entraînent côtés opposés parallèles.
2. Faux : un parallélogramme « penché » aux côtés 5 et 8 n'a pas 4 côtés égaux.
3. Vrai : le carré a bien 4 angles droits.
4. Faux : il faut d'ABORD être un parallélogramme (ou avoir le milieu commun). Des diagonales égales seules ne suffisent jamais.
2. Faux : un parallélogramme « penché » aux côtés 5 et 8 n'a pas 4 côtés égaux.
3. Vrai : le carré a bien 4 angles droits.
4. Faux : il faut d'ABORD être un parallélogramme (ou avoir le milieu commun). Des diagonales égales seules ne suffisent jamais.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Démonstration guidée⭐⭐⭐
A' et B' sont les symétriques de A et B par la symétrie de centre O (A, B et O non alignés).
- Que représente O pour les segments [AA'] et [BB'] ?
- Déduis-en la nature du quadrilatère ABA'B'. (Attention à l'ordre des sommets !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'] et de [BB'].
2. Les diagonales de ABA'B' sont [AA'] et [BB']… et elles ont le même milieu O : ABA'B' est un parallélogramme.
La symétrie centrale et le parallélogramme sont les deux faces d'une même pièce.
2. Les diagonales de ABA'B' sont [AA'] et [BB']… et elles ont le même milieu O : ABA'B' est un parallélogramme.
La symétrie centrale et le parallélogramme sont les deux faces d'une même pièce.
Exercice 8 : Défis⭐⭐⭐
- Le périmètre d'un losange est 34 cm. Combien mesure chaque côté ?
- ABCD est un parallélogramme. L'angle A mesure 64°. Trouve les TROIS autres angles. (Indice : la somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°.)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 4 côtés égaux : 34 : 4 = 8,5 cm.
2. Angle C = angle A = 64° (opposés).
B et D se partagent le reste : 360 − 128 = 232, donc B = D = 116°.
Remarque : 64 + 116 = 180 : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont toujours supplémentaires.
2. Angle C = angle A = 64° (opposés).
B et D se partagent le reste : 360 − 128 = 232, donc B = D = 116°.
Remarque : 64 + 116 = 180 : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont toujours supplémentaires.